Свойства декартового произведения двух множеств:

1.Декартово произведение не обладает свойствами коммутативности, т.е.

А*В В*А;

2. Для декартова произведения не выполняется свойство ассоциативности;

3.Дистрибутивность декартова произведения, относительно объединения:

(АВ)*С = (А*С)(В*С).

Элементы математической логики

§1. Высказывания. Операции над высказываниями

Высказывание – повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать истинно оно или ложно.

Высказывание обозначается малыми латинскими буквами (x, y, z, u, d, 

х: 2 + 3 = 7,

у : 16 = 4.

Если высказывание истинно, то ему присваивается значение «1», если высказывание ложно – «0».

Операции над высказываниями

Конъюнкцией двух высказываний х и у называется новое высказывание ху (икс и игрек), которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания будут истинными.

Дизъюнкцией (v «или») двух высказываний называется новое высказывание, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний.

Импликацией ( => «следует», «если…,то…») двух высказываний х, у называется новое высказывание х =>у, которое будет ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а заключение ложно.

х =>у, х –условие; у – заключение;

Эквивалентностью (<=>) «эквивалентно») двух высказываний х, у называется новое высказывание, которое будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания принимают одинаковое значение.

Отрицанием высказывания х называется высказывание (не х), которое будет истинным тогда и только тогда, когда х ложно.

d:25 = 5 1 d  = 0; d =>   

: dv  d <=>  

 Также как и для арифметических действий, для логических операций определен порядок их выполнения: -; ; v; =>; <=>.

Операции над высказываниями можно задать с помощью таблиц истинности.

х	у	ху
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

х	у	хvу
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

х	у	х =>у
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

х	у	х<=>у
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

§2. Равносильность формул. Свойства (законы) логических операций

Формулой алгебры логики называют сложное высказывание, полученное из элементарных с помощью логических операций.

Для каждой формулы может быть составлена таблица истинности, в которой находятся значения истинности для всевозможных наборов входящих в неё элементов.

х	у	х	ху	хvу	<=>
1	1	0	0	1	0
1	0	0	0	1	0
0	1	1	0	1	0
0	0	1	0	0	1

Две формулы F₁ и F₂ называются равносильными (), если они принимают одинаковые значения истинности при всех наборах входящих в них переменных.

Упражнение: Установить равносильность двух формул можно двумя способами:

1) с помощью таблицы истинности

F₁ : х =>у _{F1= F2}

F₂ : х_{ у}

х	у	х =>у	х =>у	у	х  у
1	1	1	0	0	0
1	0	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
0	0	1	0	1	0

F₁ F₂

2) на основе свойств логических операций (используется для более сложных формул)