Интегральное исчисление

4) При интегрировании простейших дробей последнего типа воспользуемся той же заменой, что и в предыдущем случае, и представим подынтегральное выражение в виде:

Рассмотрим отдельно способ интегрирования In .

Таким образом, получена рекуррентная формула, позволяющая в конечном счете свести вычисление этого интеграла к

Итак, интеграл от любой простейшей дроби находится в явном виде и является элементарной функцией.

31

Теорема 1. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Доказательство.

Представим рациональную дробь P(z) в виде:

Q(z)

P(z) S(z) R(z) .

Q(z) Q(z)

При этом последнее слагаемое является правильной дробью, которую можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

Пример.

x4 6x3 12x2 2x 24 dx

x4 2x3 8x2

x ln|x| 3 2x 5 dx

xx2 2x 8

x ln|x| 3 2(x 1) 3 d(x 1)

x(x 1)2 7

Интегрирование дробно-линейных иррациональностей

Из ранее доказанного следует, что любую рациональную дробь можно проинтегрировать, поэтому в дальнейшем будем считать задачу интегрирования функции выполненной, если удается представить эту функцию в виде рациональной дроби. В частности, для интегралов вида

32

где R – рациональная функция (многочлен или рациональная дробь), r1 ,…,rn

– дроби с одним и тем же знаменателем m

а ac db , замена

tm ax b cx d

приводит к

x dtm b .

Таким образом, х является рациональной функцией t, следовательно, его производная тоже будет рациональной функцией. Кроме того,

тоже рациональные функции от t (так как pi – целое число). Поэтому после замены подынтегральное выражение примет вид R1 (t)dt , где R1 – рациональная функция, интегрируемая описанными выше способами.

Замечание. С помощью подобных замен можно интегрировать функции вида

R(x,(ax b)r1 ,...,(ax b)rn ),

и, в частности, R(x, xr1 ,..., xrn ).

Примеры.

33

5 ln|x 2| 2 ln|x 3| C. Ответ: 5 ln|x 2| 2 ln|x 3| C.

Задача 2.

Вычислить интеграл

2x3 3x2 2x 2 dx.

x4 3x3 3x2 x

Указание

Разложите подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Решение

35

Задача 3.

Вычислить интеграл

x3 3 8 dx.

Указание

Разложите подынтегральную функцию в сумму простейших дробей.

Решение