Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производных: a0(x)y(n) a1(x)y(n 1) ... an 1(x)y an(x)y (x). (8)

Если (x) 0, уравнение называется линейным однородным.

Если а0(х) не равно нулю ни в одной точке некоторого отрезка [a,b], линейное однородное уравнение удобно записывать в форме

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0 (9)

или

		n
y	(n)	pi (x)y	(n i)	.
y		pi (x)y		.	(9 )
		i 1

Замечание 1. Если коэффициенты pi(x) непрерывны на [a,b], то в окрестности любых начальных значений при x0 [a,b] удовлетворяются условия теоремы

существования и единственности.

Замечание 2. Линейность и однородность уравнения сохраняются при любом преобразовании x (t), где (t) - п раз дифференцируемая функция и


(t) 0 на [a,b], так как
	dy	dy	1		2	y		2		y 1			dy
	dy	dy	1	,	d	y			d	y 1			dy	(t)		u m. .,
				,	dx		2		dt	2		2			3	u m. .,
							2			2		2			3
	dx dt (t)										( (t))		dt ( (t))

то есть производная любого порядка по х является линейной однородной функцией производных по t.

Замечание 3. Линейность и однородность уравнения сохраняются также при линейном однородном преобразовании неизвестной функции y(x) = (x)z(x).

Назовем линейным дифференциальным оператором

L[y] y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y (10)

результат применения к функции у операций, задаваемых левой частью уравнения (9).

При этом уравнение (9) можно записать в виде L[y] = 0.

Свойства линейного дифференциального оператора

1)Постоянный множитель выносится за знак линейного оператора:

L[cy] = cL[y],

2) L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2].

Действительно, (у1 + у2)(i) = y1(i) сформулированного свойства. Следствие.

m
L ci yi
i 1

так как (су)(i) = cy(i).

+ y2(i), откуда следует справедливость

ciL[yi ]. (11)

i 1

Свойства решений линейного уравнения

121

Используя свойства линейного оператора, можно указать некоторые свойства решений линейного однородного уравнения (9).

Теорема 1. Если у1 – решение уравнения (9), то и су1, где с – произвольная постоянная, – тоже решение этого уравнения.

Доказательство. Если L[y1] = 0, то по свойству 1) линейного оператора L[сy1] = 0, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Сумма у1 + у2 решений уравнения (9) тоже является решением этого уравнения.

Доказательство. Так как L[y1] = 0 и L[y2] = 0, по свойству 2) линейного оператора L[y1 + у2] = L[y1] + L[y2] = 0, что доказывает утверждение теоремы.

Следствие теорем 1 и 2. Линейная комбинация ci yi решений уравнения (9)

i 1

у1, у2,…,ут с произвольными постоянными коэффициентами тоже является решением этого уравнения.

Если рассматривается линейное неоднородное уравнение (8), которое при a0(x) 0 можно записать в виде

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y f (x) (12)

или L[y] = f(x), то при непрерывности функций pi(x) и f(x) оно имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (3). Из свойств линейного оператора следуют свойства решений неоднородного линейного уравнения:

1)Сумма y% y1 решения y% неоднородного уравнения (12) и решения у1

соответствующего однородного уравнения (9) является решением неоднородного уравнения (12). Если y – некоторое решение неоднородного

			%
уравнения, то его можно представить в виде y y1
Доказательство.
%	%	L[y1	] f (x) 0	f (x).
L[y y1	] L[y]	L[y1	] f (x) 0	f (x).
%	%	L[y1	] f (x) f (x) 0.
L[y y] L[y]		L[y1	] f (x) f (x) 0.
				m
2) Если yi – решение уравнения L[y] = fi(x),				то y i yi является

i 1

решением уравнения

L[y] i fi (x),

i 1

где i – постоянные (принцип суперпозиции или наложения). Доказательство.

122

				1
			C1		dx C1x ctgx C2		;
y	y dx		C1	sin2 x	dx C1x ctgx C2		;
				sin2 x

	y y dx C1x ctgx C2 dx
		C1	x2 ln\|sin x\| C2 x C3
			x2 ln\|sin x\| C2 x C3
	2
				%	2	C2 x C3 .
	ln\|sin x\| C1x					C2 x C3 .

требовалось доказать.

m		m
L i yi		L[ i yi
i 1		i 1
что		и

Примеры решения задач

Задача 1.

Найти общее решение уравнения

y sin4 x sin 2x.

Указание

Используйте то, что

u m. .

y dx

Решение

sin 2x

sin

y dx

sin

2 sin x cos x dx

d(sin2 x)

;

(sin2 x)2

sin2

sin4 x

Ответ: y ln|sin x| C1x2 C2 x C3 .

Задача 2.

Найти общее решение уравнения

(1 x2 )y xy 2.
	Указание
Сделайте замену:
y	p(x),	y
y	p(x),	y	p (x).

	Решение
y	p(x),	y
			p (x);

(1 x2 )p xp 2.

Однородное уравнение:

123

(1 x2 )p xp 0,

xdx

1 x

ln|p| 1 ln|1 x2 | ln|C

;

одн

1 x2

(x)

pнеодн

C1(1 x )

C1(1 x

)

1 x2

C1(1 x

) C1x

;

(1 x2 )2

C1(1 x

)

C1x

1 x2

(1 x2 )2

2dx

2 arcsin x C1.

1 x2

p 2 arcsin x

1 ;

2 arcsin x C

1 x2

2 arcsin x C1

1 x2

arcsin2

x 2C

1 arcsin x C2

arcsin2

x C1 arcsin x C2 .

Ответ: y arcsin2

x C arcsin x C .

Задача 3.

Найти общее решение уравнения

2xy y y 1.

Указание

Сделайте замену:

y		p(x),	y
					p (x).

Решение

124

p(x),

p (x);

2pdp

2xp p

ln|p2 1| ln|x| ln|C1|,

C1x 1,

C1x 1;

(C1x 1)2 C2 ;

C1x 1

3C1

x 1)2

x 1)2 C

x C

3C1

15C12

Ответ: y

(C1x 1)2 C2 x C3 .

15C12

Задача 4.

Решить задачу Коши:

y(0)

(0) 2.

Указание

Сделайте замену:

p(y),

pp .

Решение

Сделаем замену:

p(y),

pp .

Тогда

ypp p2

ln|p| ln|y| ln|C|,

p Cy,

p(0) 2,

y(0) 1 2 C 1 C 2,

p 2y,

y 2y,

2dx,

ln|y| 2x ln|C|,

y Ce2 x ,

y(0) 1

1 Ce0 ,

C 1,

y e2 x .

Ответ: y e2x .

2.2.2 Линейная зависимость и независимость системы функций. Определитель Вронского, его свойства. Фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения. Общее решение однородного уравнения

125

Функции у1(х),у2(х),…, уп(х) называются линейно зависимыми на некотором отрезке [a,b], если существуют такие числа 1, 2,…, п, хотя бы одно из которых не равно нулю, что

1y1 2 y2 K nyn 0 (1)

на рассматриваемом отрезке. Если же равенство (1) справедливо только при всех i=0, функции у1(х), у2(х),…, уп(х) называются линейно независимыми на отрезке [a,b].

Примеры.

1. Функции 1, x, x², …, xn линейно независимы на любом отрезке, так как равенство

1 2 x 3x2 K n 1xn 0

справедливо только при всех αi = 0. Иначе в левой части равенства стоял бы многочлен степени не выше п, который может обращаться в нуль не более, чем в п точках рассматриваемого отрезка.

2. Линейно независимой на любом отрезке является система функций ek1x , ek2x ,..., eknx .

Если предположить, что эта система линейно зависима, то существуют такие числа 1, 2,…, п (пусть для определенности п 0 ), что

1ek1x 2ek2x ... neknx 0.

Разделим полученное равенство на ek1x и продифференцируем:

	(k		k )e(k2 k1 )x ...						(k	k )e(kn k1 )x 0.
2		2		1				n	n		1
Проделав эту операцию п-1 раз, придем к равенству
		(k	2	k )(k	3	k )...(k	n	k			)e(kn kn 1 )x 0,
	n		2	1	3	2	n		n 1
что невозможно, так как по предположению
				n 0,		ki kj ,		e(kn kn 1 )x 0.

3. Подобным образом можно доказать линейную независимость системы функций

ek1x , xek1x ,..., xn1 ek1x , ek2x , xek2x ,..., xn2 ek2x ,

.............................

ekpx , xekpx ,..., xnp ekpx .

Определитель Вронского

Определитель вида

126

.............................................

1y1 2 y2 ... n yn

y y ... y

1 1 2 2 n n

0,0,

	y1

	y1
W (x) W [y1 , y2 ,..., yn ]
W (x) W [y1 , y2 ,..., yn ]	y1
	...

y1(n 1)

...

y(2n 1)

...

yn
yn

yn
	(2)
yn	(2)
...
yn(n 1)

называется определителем Вронского системы функций у1, у2,…, уп.

Теорема 1. Если функции у1, у2,…, уп линейно зависимы на отрезке [a,b], то их определитель Вронского на этом отрезке тождественно равен нулю. Доказательство.

Дифференцируя п-1 раз тождество 1у1 + 2у2 + … + пуп = 0 , где не все i = 0, получим линейную однородную систему относительно 1, 2,…, п:

y			y		... y		0,
		(n 1)		(n 1)		(n 1)
	1	1	2 2		n	n

которая по условию должна иметь нетривиальное решение при любом х из отрезка [a,b], а это возможно только в том случае, если главный определитель этой системы (см. правило Крамера) равен нулю. Поскольку этот главный определитель является определителем Вронского для выбранной системы функций, теорема доказана.

Теорема 2. Если линейно независимые функции у1, у2,…, уп являются решениями линейного однородного уравнения

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0

с непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами, то определитель Вронского для этих функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a,b].

Доказательство.

Пусть x0 [a,b] : W(x0 ) 0. Выберем числа 1 , 2 ,..., n , не все равные нулю, так, чтобы удовлетворялась система уравнений

		1y1(x0 ) 2 y2 (x0 )								...	n yn(x0 ) 0,
								(x0 )						0,

		1y1		(x0 ) 2 y2						...	n yn(x0 )				(3)
		..............................................................													(3)


	y	(n 1)	(x		)	y	(n 1)		(x )			y	(n 1)	(x ) 0.
	y	1	(x		)	y	2		(x )			y	n	(x ) 0.
1		1		0	2		2		0		n		n	0

(Определитель этой системы, неизвестными в которой считаем i, равен W(x0) и, следовательно, равен нулю, поэтому система имеет ненулевое решение). Тогда по условию теоремы

y 1y1(x) 2 y2(x) ... nyn(x)

решение уравнения

127

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0

с нулевыми начальными условиями

y(x0 ) y (x0 ) ... y(n 1)(x0 ) 0,

что следует из системы (3). Очевидно, что этим условиям удовлетворяет нулевое решение:

1y1(x) 2 y2(x) ... nyn(x) 0,

а по теореме существования и единственности это решение единственно. Но при этом из равенства (4) следует, что функции у1, у2,…, уп линейно зависимы, что противоречит условиям теоремы. Следовательно, W(x) 0 ни

в одной точке отрезка [a,b].

Замечание. В теореме 2 важно, что функции у1, у2,…, уп – решения уравнения y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0.

Для произвольной системы функций утверждение теоремы не справедливо.

Теорема 3. Общим решением на [a,b] уравнения

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0

с непрерывными коэффициентами pi является линейная комбинация

n
y ci yi	(5)

i 1

п линейно независимых на [a,b] частных решений yi с произвольными постоянными коэффициентами.

Доказательство.

Для доказательства теоремы с учетом теоремы существования и единственности достаточно показать, что можно подобрать постоянные ci так, чтобы удовлетворялись произвольно заданные начальные условия:

y(x0 ) y0 ,			,..., y	(n 1)	(n 1)	, (6)
	y (x0 ) y0				(x0 ) y0

где х0 – произвольная точка отрезка [a,b].

Подставив в равенства (6) выражение для у вида (5), получим линейную систему из п уравнений относительно неизвестных с1, с2,…, сп:

		n
		ci yi (x0 ) y0 ,
		i 1
		i 1
		n
				,
		ci yi (x0 ) y0		,	,
		i 1			,
		........................
		........................
	n
	n	(n 1)	(n 1)
ci yi			(x0 ) y0
i 1

определителем которой является определитель Вронского для выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого уравнения, который по теореме 2 не равен нулю. Следовательно, по правилу Крамера система имеет решение при любых правых частях. Теорема доказана.

128

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного уравнения

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0

равно его порядку.

Любые п линейно независимых решений однородного линейного уравнения y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0

называются его фундаментальной системой решений.

Таким образом, общее решение уравнения

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn 1(x)y pn(x)y 0

является линейной комбинацией любой его фундаментальной системы решений.

Примеры решения задач

Задача 1.

Найти значения a, b и с, при которых функции ах3 + х + b и сx2 – x – 1 линейно зависимы.

Указание

Условие линейной зависимости функций – существование чисел 1 и 2, из которых хотя бы одно не равно нулю, для которых верно равенство

	1(ax3 x b) 2(cx2 x 1) 0.
				Решение
Пусть
	1(ax3 x b) 2(cx2 x 1) 0,
тогда
	ax3	cx2	(			1		)x ( b			) 0.
1	2					1	2		1	2
Отсюда
					1a 0
					2c 0
					2c 0				.
				1 2				0	.
				1 2				0
					b			0
					b		2	0
				1			2

Эта система имеет ненулевое решение для 1 и 2, если а = с = 0, b = 1. При этом 1 и 2 – любые числа, удовлетворяющие условию 1 = 2.

Ответ: а = с = 0, b = 1.

Задача 2.

Вычислить определитель Вронского для функций x + lnx и xlnx при х = 1.

129

Указание

Определитель Вронского для двух функций имеет вид

Решение

x ln x

ln x 1

При х = 1

Ответ: 1.

Задача 3.

Найти фундаментальную систему решений уравнения y y 0.

Указание

Найдите общее решение уравнения и определите линейно независимые функции, линейной комбинацией которых оно является.

			Решение
Пусть
		y	p(x),		y
		y	p(x),		y	p .
p p 0,		dp		dx,	ln\|p\| x ln\|C1\|,
p p 0,		p		dx,	ln\|p\| x ln\|C1\|,
		p
y C1e x ,	y C1e x C2 ,					y C1e x C2 x C3 .

Следовательно, любое решение уравнения является линейной комбинацией линейно независимых функций 1, х и е-х, которые соответственно образуют фундаментальную систему решений.

Ответ: 1, x, e x .

2.2.3.Однородные линейные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Частное и общее решения

Определим вид частных решений однородного линейного уравнения

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1613 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.09.201967.58 Кб1инновационный 36-40.doc
#
26.11.20195.11 Mб2инсектициды и акорициды.doc
#
11.02.201544.36 Кб16Институциональная экономика.docx
#
20.08.2019248.08 Кб1инструкции.rtf
#
20.09.2019157.7 Кб2Инструкция по практике.doc
#
25.03.20161.87 Mб7Интегральное исчисление.pdf
#
11.02.201554.59 Кб8Интернет.docx
#
11.02.2015117.25 Кб29Инфекция мочевыводящих путей.doc
#
11.02.201581.92 Кб49Инфекция.doc
#
11.02.201559.39 Кб19Инфекция1.doc
#
21.09.2019119.3 Кб5информатика 8-22.doc