§ 12.4 Связь напряжённости и потенциала
Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую (напряжённость) и энергетическую (потенциал). Напряжённость и потенциал – различные характеристики одной и той же точки поля, следовательно, между ними должна быть связь.
Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и х1– х2 = dx , равна qЕхdx. Та же работа равна q(φ1 - φ2 )= -dφq. Приравнивая оба выражения, можем записать
Ехdx = -dφ
Повторив аналогичные рассуждения для осей у и z, можем найти вектор :
где - единичные векторы координатных осей х, у, z.
Из определения градиента следует, что
или (12.31)
т.е. напряжённость поля Е равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряжённости Е поля направлен в сторону убывания потенциала.
Установленная связь между напряжённостью и потенциалом позволяет по известной напряжённости поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.
-
Поле равномерно заряженной сферы радиусом R
Напряжённость поля вне сферы определяется по формуле
(r >R)
Разность потенциалов между точками r1 и r2 (r1>R; r2 >R ) определим, используя соотношение
Потенциал сферы получим, если r1= R, r2 → ∞:
-
Поле равномерно заряженного бесконечно длинного цилиндра
Напряжённость поля вне цилиндра (r >R) определяется формулой
(τ – линейная плотность).
Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстоянии r1 и r2 (r1>R; r2 >R ) от оси цилиндра, равна
(12.32)
-
Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Напряжённость поля этой плоскости определяется формулой
(σ - поверхностная плотность).
Разность потенциалов между точками, лежащими на расстоянии х1 и х2 от плоскости, равна
(12.33)
-
Поле двух разноименно заряженных бесконечных параллельных плоскостей
Напряженность поля этих плоскостей определяется формулой
Разность потенциалов между плоскостями равна
(12.34)
(d – расстояние между плоскостями).
Примеры решения задач
Пример 12.1. Три точечных заряда Q1=2нКл, Q2 =3нКл и Q3=-4нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной a=10см. Определите потенциальную энергию этой системы.
Дано: Q1=2нКл=2∙10-9Кл; Q2 =3нКл=3∙10-9Кл; и Q3=-4нКл=4∙10-9Кл; a=10см=0,1м.
Найти: U.
Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна алгебраической сумме энергий взаимодействия каждой из взаимодействующих пар зарядов, т.е.
U=U12+U13+U23
где соответственно потенциальные энергии одного из зарядов, находящегося в поле другого заряда на расстоянии а от него, равны
; ; (2)
Подставим формулы (2) в выражение (1), найдём искомую потенциальную энергию системы зарядов
Ответ: U=-0,126мкДж.
Пример 12.2. Определите потенциал в центре кольца с внутренним радиусом R1=30см и внешним R2=60см, если на нём равномерно распределён заряд q=5нКл.
Дано: R1=30см=0,3м; R2=60см=0,6м; q=5нКл=5∙10-9Кл