Контрольная

Метод з використанням таблиць розподілу Стьюдента.

Вживання цього методу засновано на порівнянні табличного критичного значення і розрахункового значення відносного відхилення результату вимірювання, що перевіряється. В цьому методі критичне значення (p,n) (p - встановлений або заданий рівень довірчої вірогідності; n - кількість вимірювань) виражається через критичне значення розподіл Стьюдента t(p,n-2):

Процедура відсіву промахів полягає в наступному.

З одержаних результатів вимірювань визначається значення х*, що значно відрізняється від інших. Після цього розраховується величина t для результату, який вважається промахом. В цьому випадку для розрахунку середнього арифметичного значення результатів вимірювань включається (враховується) і значення, що значно відрізняється від інших.

Потім для встановленого або заданого рівня довірчої вірогідності з таблиці В2 знаходять критичне значення розподілу Стьюдента t(p,n-2), тобто значення величини критерію Стьюдента для n-2 вимірювань, і проводиться розрахунок величини критерію (p,n) по приведеній вище формулі.

Одержану розрахункову величину (p,n) порівнюють з величиною t. Якщо величина t більше p,n), то значення, що значно відрізняється від інших, містить грубу помилку і це значення слідує виключити з подальшої обробки результатів вимірювань.

33

Таблиця В2 Критичні значення t розподілу Стьюдента

Критерій Романовського.

Як і в попередніх методах для виключення промаху, проводиться визначення х*, розрахунок середнього арифметичного (без урахування величини х* і величини СКВ.

Виходячи з рівня довірчої вірогідності, по таблиці В3 величину t і розраховують критичне значення *:

* = t S.

Якщо різниця (x* x ) > e*, то результат х*, що значно відрізняється від інших, містить грубу помилку і підлягає виключенню з ряду результатів вимірювань.

Таблиця В3. Величини критеріїв залежно від рівня вірогідності

34

Додаток Г

Перевірка гіпотези нормальності розподілу

Метод середнього абсолютного відхилення (САВ).

Для не дуже великих вибірок (n<120) можна застосувати прості рекомендації по перевірці нормальності розподілу випадкових величин.

Для вживання цього методу необхідно визначити величини S (СКВ при невідомому середньому арифметичному значенні) і САВ:

Для вибірки, що має приблизно нормальний закон розподілу, повинне бути справедливе співвідношення

САSB 0,7979 0,4n

Якщо приведене співвідношення дотримується, то гіпотеза нормальності розподілу приймається.

Метод розмаху варіювання (R).

Для порівняно широкого класу вибірок 3<n<1000 можна виконати перевірку нормальності розподілу з використанням розмаху варіювання R. Величину R визначають за формулою R = xmax xmin .

Потім визначають відношення R/S і зіставляють його з критичними верхніми в і нижніми н межами цього відношення, при заданій вірогідності розподілу помилок. Якщо в<R/S< н , то нормального розподілу немає. Гіпотеза нормальності розподілу підтверджується, якщо н<R/S< в .

35

Таблиця Г1. Критичні межі відношення R/S

Метод аналізу показників асиметрії і ексцесу.

Деяке уявлення про близькість емпіричного розподілу до нормального закону розподілу може дати аналіз показників асиметрії і ексцесу.

Для вживання цього методу необхідно визначити наступні величини:

-центральні моменти розподілу другого (m2), третього (m3) і четвертого (m4) порядків:

- показник асиметрії g1:

g1 m3 m3 ; m232 3

36

- показник ексцесу (відхилення) g2 :

g2 m4 m4 ; m22 4

- незміщені оцінки для показників g1 і g2 :

- СКВ для показників g1 і g2 :

(підтверджується).

Метод перевірки нормальності розподілу за допомогою критерію згоди Колмогорова-Смірнова (К С критерій).

Цей метод подібний критерію згоди 2, за винятком того, що для розрахунку К-С критерію використовуються накопичені абсолютні і очікувані частоти.

Для вживання цього методу необхідно визначити величину

D max Fn F0 , n

де Fn - накопичена спостережувана частота результатів вимірювання, F0 – накопичена очікувана частота результатів вимірювання.

37

Величина Fn для кожного інтервалу визначається підсумовуванням спостережуваної частоти m даного інтервалу і всіх попередніх інтервалів (наприклад, Fn для другого інтервалу = m2 + m1; Fn для третього інтервалу = m3

+m2 + m1). Так само визначається і величина F0: для другого інтервалу F0 = np2

+np1; для третього інтервалу F0 = np3 + np2 + np1 і т.д.

Результати розрахунку заносять в таблицю (як приклад визначення Fn F0 див. табл. Г 2), визначають найбільше абсолютне значення різниці Fn F0 , обчислюють величину D і порівнюють її з табличним значенням критерію, табл. Г 3. Гіпотеза про нормальний закон розподілу приймається, якщо D Dкр .

Таблиця Г 2. Приклад виконання розрахунків

Розрахунок: max Fn F0 = 3,24; D = 3,24/100 = 0,0324.

Таблиця Г 3. Критичні Dкр значення К-С критерію

Для нашого прикладу розрахована величина D=0,0324 набагато менше критичну величину D0,1=0,636, прийнятої з досить жорстким 10 % рівнем вірогідності. Таким чином, можна зробити висновок, що гіпотеза про нормальність розподілу приймається.

38

Метод перевірки з використанням критерію відповідності 2.

Якщо результати експерименту викликають сумнів в нормальності закону розподілу випадкових помилок, то для вирішення питання про придатність або непридатність нормального закону розподілу треба провести достатньо велике число вимірювань.

Результати вимірювань (зрозуміло, вільні від систематичних помилок) групують по інтервалах так, щоб ці інтервали покривали всю вісь ( , + ) і щоб кількість даних в кожному інтервалі була достатньо великою (в усякому разі, не менше п'яти, краще десяти). Для кожного інтервалу (xі 1, xi) підраховують число mi результатів вимірювання, що потрапили в цей інтервал. Потім обчислюють вірогідність pi попадання в цей інтервал при нормальному законі розподілу вірогідності:

де x - середнє арифметичне значення результатів вимірювання, s - емпіричний стандарт (середня квадратична помилка), Ф - інтеграл вірогідності, який визначається за відомою формулою (2) і представлений таблицями Г5 і Г6.

Для визначення критерію " 2" обчислюють суму

39

де - число усіх інтервалів ( , х1), (х1, х2), … , (xi-1, ), n - число усіх результатів вимірювань (n = m1 + m2 + … + ml).

Якщо сума, визначувана виразом (3), виявиться більше критичного значення 2 по таблиці Г7 при деякій довірчій вірогідності R і числі ступенів свободи к =l-3, то з надійністю R можна вважати, що розподіл вірогідності випадкових помилок в даній серії вимірювань відрізняється від нормального. Інакше для такого висновку немає достатніх підстав.

За відсутності достатніх підстав для того, щоб відкинути гіпотезу про нормальний розподіл випадкових помилок вимірювання, ця гіпотеза приймається, оскільки в звичних ситуаціях ця гіпотеза часто може бути обґрунтована теоретично.

Наголосимо ще на важливій властивості критерію 2. Якщо розподіл відмінний від нормального, то при достатньо великому числі вимірювань сума, визначена по виразу (3), перевищить відповідне критичне значення 2.

Тому, якщо при проведеному числі вимірювань критерій 2 дав малу

надійність, слід суттєво збільшити число вимірювань (у декілька разів!).

Вказане вище число ступенів свободи k=l-3 відноситься тільки до того випадку, коли обидва параметри нормального закону розподілу визначаються за наслідками вимірювань, тобто коли замість точних значень а (істинних значень) і застосовуються їх емпіричні значення x і S. Якщо значення а точно відомо (наприклад, при вимірюванні еталона), то число ступенів свободи рівне к=l-2, якщо відомо обидва параметри а і , то число ступенів свободи рівне k=l-1. На практиці така ситуація зустрічається рідко, і тому для отримання числа ступенів свободи не менше п'яти треба брати число інтервалів не менше восьми.

На закінчення помітимо, що ефективність критерію 2 підвищується, якщо в кожний з виділених інтервалів потрапляє приблизно однакова кількість даних. Це слідує враховувати при угрупуванні первинного матеріалу (якщо можливо).

40

Приклад розрахунку вірогідності для вживання критерію 2. Візьмемо ряд результатів вимірювань в кількості 100 шт. Ряд включає послідовні величини від 8,275 до 8,975. Значення параметрів розподілу для нього вже були підраховані по відомих залежностях: x = 8,63, s = 0,127. Для вживання критерію 2 об'єднаємо крайні інтервали, щоб число даних в кожному інтервалі стало не менше п'яти. Одержані дані представлені у перших двох стовпцях табл. Г4. Крайні інтервали узяті нескінченними. В третьому стовпці підраховані відношення

для правих кінців інтервалів, наприклад, t1 = (8,425-8,63)/0,127 = 1,614. В четвертому стовпці приведені відповідні значення інтеграла вірогідності Ф(ti) з табл. Г5. При цьому проведена лінійна інтерполяція. По значеннях Ф(ti) в п'ятому стовпці обчислена вірогідність pi, як різниці відповідних значень Ф(t):

pi = Ф(ti) Ф(ti-1);

наприклад, р2 = 0,3888 ( 0,4467) = 0,0579. При обчисленні вірогідності p1 враховане, що Ф( )= 0,5. Останні стовпці таблиці не потребують пояснення. Сума чисел останнього стовпця дає значення 2 = 2,528.

41

Таблиця Г 4. Результати обробки

Порівняння цього значення з таблиці Г4 з критичними значеннями з таблиці Г7 при числі ступенів свободи k=10-3=7 показує, що величина 2 менше критичних значень для вибраних ступенів надійності і тому немає підстав сумніватися в нормальності розподілу результатів вимірювання.

42