Примеры решения задач
Пример 12. 1. В
пространстве, наполовину заполненном
парафином (ε2=2),
создано однородное электрическое поле,
напряжённость которого в вакууме
Е1=4В/м.
Вектор
образует с плоской границей вакуум –
парафин угол α=60º. Определите в парафине:
1) электрическое смещение D2;
2) напряжённость Е2
электростатического поля; 3) поляризованность
Р2.
Дано: ε2=2; Е1=4В/м; α=60º; ε1=1.
Найти: 1) D2; 2) Е2; 3) Р2.
Р
ешение.
Поскольку в задаче задан вектор
как по модулю, так и по направлению
(рис.а), то задано и направление вектора
в вакууме (рис.б) (векторы
и
параллельны).
Связь между нормальной и тангенциальной составляющими векторов и :
Dn=ε0εEn и Dτ=ε0εEτ (1)
П
ри
переходе через границу раздела
тангенциальная составляющая вектора
(Eτ)
и нормальная составляющая вектора
(Dn)
не претерпевают скачка, т.е.
Еτ1=Eτ2; Dn1= Dn2 (2)
а нормальная составляющая вектора (En) и тангенциальная составляющая вектора (Dτ)
;
(3)
что схематически изображено на рисунках.
Из формулы (3), учитывая, что ε1=1, получим
Еτ1=ε2En2
и
(4)
Из рисунка б, с учётом формул (1) и (4), следует, что
В вакууме (см.рис. б) Dn1= D1sinα=ε0E1sinα, Dτ2= D1cosα=ε0E1cosα.
Тогда искомое электрическое смещение в парафине
Из рисунка а, с учётом формул (1) и (4), следует, что
В вакууме (см.рис. а) Еn1= Е1sinα; Еτ1= Е1cosα.
Тогда искомая напряжённость электростатического поля в парафине
Поляризованность
связана с
и
соотношением
откуда следует,
что вектор
в парафине направлен так же, как вектор
(или
).
Тогда искомая поляризованность в
парафине
P2=D2-ε0E2
Ответ: 1) D2=46 пКл/м2; 2) Е2=2,6 В/м; 3) Р2=23 пКл/м2.
Пример 12. 2. Между обкладками плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 1,5кВ, зажата парафиновая пластинка (ε=2) толщиной 5 мм. Определите поверхностную плотность связанных зарядов на парафине.,
Дано: U=1,5кВ=1,5∙103В; ε=2; d=5мм=5∙10-3м.
Найти: σ'.
Решение. Векторы , и связаны соотношением
= ε0 +
где и - соответственно векторы электрического смещения и напряжённости поля плоского конденсатора; - вектор поляризованности диэлектрика. Так вектора и нормальны к поверхности диэлектрика, то Dn=D и Еn=Е. тогда можем записать D= ε0Е+Р; где Р= σ', т.е. равна поверхности плотности связанных зарядов диэлектрика (учли, что Рn=Р). Тогда
σ'=D- ε0Е.
Учитывая, что D=
ε0Е
и
,
где d
– расстояние между обкладками
конденсатора, найдём
σ'=
ε0(ε-1)Е=
ε0(ε-1)
.
Ответ: σ' =2,65 мкКл/м2.
Пример 12. 3. Плоский конденсатор, между обкладками которого находится стеклянная пластинка (ε=7)толщиной d=3мм, заряжен до разности потенциалов U=500В. Определите: 1) поверхностную плотность σ зарядов на обкладках конденсатора; 2) поверхностную плотность σ' связанных зарядов на стекле. Величиной зазора между пластинкой и обкладками пренебречь.
Дано: ε=7; d=3мм=3∙10-3м; U=500 В;
Найти: 1) σ; 2) σ'
Решение. Напряжённость поля внутри конденсатора при наличии диэлектрика между его обкладками
.
(1)
С другой стороны, напряжённость электрического поля внутри конденсатора
(2)
Приравняв (1) и (2), получим искомую поверхность плотность зарядов на обкладках конденсатора
.
Поверхностная плотность σ' связанных зарядов равна поляризованности Р: σ'=Р. Поляризованность диэлектрика Р и напряжённости Е электростатического поля связаны соотношением Р=χ ε0Е, где χ- диэлектрическая восприимчивость диэлектрика, связанная с диэлектрической проницаемостью соотношением:
ε=1+ χ. Тогда, учитывая формулу (2), получим искомую поверхностную плотность зарядов:
σ' =P= χ ε0Е= ε0(ε-1)Е =ε0(ε-1)
Ответ:1) σ =10,3 мкКл; 2) σ' =8,85 мкКл
Пример 12. 4. Расстояние между обкладками плоского конденсатора
d =1мм. После зарядки конденсатора до разности потенциалов U=700В между обкладками вставили стеклянную пластинку (ε=7). Определите: 1) диэлектрическую восприимчивость χ стекла; 2) поверхностную плотность σ' связанных зарядов на стеклянной пластинке.
Дано: d=1мм=1∙10-3м; U=700 В; ε=7.
Найти: 1) χ; 2) σ'
Решение. Связь диэлектрической проницаемости ε и диэлектрической восприимчивость χ
ε=1+ χ
откуда искомая
χ= ε -1
Напряжённость поля внутри конденсатора после его зарядки
(1)
А после того, как в конденсатор вставили диэлектрик,
(2)
[учли формулу (1)].
Поверхностная плотность связанных зарядов σ' равна поляризованности Р:
σ'=Р.
Связь между поляризованности диэлектрика и напряжённости электростатического поля
Р=χε0Е
Тогда искомая поверхностная плотность связанных зарядов
Ответ: 1) χ =6; 2) σ'=5,31 мкКл/м2.