§ 17.3 Полное сопротивление в цепи переменного тока. Резонанс напряжений

Переменный ток – любой ток, изменяющийся со временем. Переменный ток можно рассматривать как вынужденные электромагнитные колебания. Наибольшее распространение в промышленности получил гармонический переменный ток. Этот ток получают с помощью установленных на электростанциях генераторов переменного тока. В нашей стране стандартная техническая частота вырабатываемого ими тока составляет 50 Гц.

Сопротивление, которое оказывается электрическая цепь переменному току, отличается от того, которое имеет место при наличии постоянного тока. В цепи с переменным током принято различать активное R и реактивное Х сопротивление. Активным обладают те элементы цепи, в которых электрическая энергия необратимо преобразуется во внутреннюю, а реактивным - те элементы (конденсаторы и катушки индуктивности), в которых подобного преобразования не происходит. Сопротивление конденсатора при этом называют ёмкостным Х_C, а катушки индуктивным Х_L. Реактивным сопротивлением обладают те элементы электрической цепи, на которых разность фаз колебаний силы тока и напряжения составляет π/2. В элементах с чисто активным сопротивлением колебания силы тока и напряжения совпадают по фазе.

Рассмотрим цепь, в которой последовательно соединены резистор, катушка индуктивности и конденсатор.

Сила тока в цепи и напряжение изменяются не в одной фазе, поэтому

I=I_m sin(ωt- φ), (17.26)

где – разность фаз напряжения и силы тока.

Сумма напряжений на отдельных участках равна внешнему напряжению:

U=U_R +U_L+ U_C= U_m sinωt (17.27)

где U_R = U_mR sin(ωt- φ) - в фазе с током; (17.28)

U_L = U_mL sin(ωt- φ + π/2) – опережает силу тока по фазе; (17.29)

U_С = U_mС sin(ωt- φ - π/2) – отстаёт от силы тока по фазе. (17.30)

Подставим в (17.27) можно получить выражение для полного сопротивления.

U= U_mR sin(ωt- φ) + U_mL sin(ωt- φ + π/2)+ U_mС sin(ωt- φ - π/2)= U_m sinωt (17.31)

Однако более просто и наглядно удаётся это сделать с помощью векторных диаграмм (рис.17.7).

На рис.17.7 по оси токов направлен вектор амплитуды силы тока I_m. так как во всей цепи амплитуда силы тока одинакова, то амплитуда напряжений на участках отложим относительно этого вектора: вектор U_mR – в одной фазе с силой тока; вектор U_mL – с опережением силы тока по фазе на π/2, вектор U_mС – с отставанием от силы тока по фазе на π/2.

Суммируя три вектора, находим графически значения и U. Используя теорему Пифагора, имеем

U² _m= U² _mR + (U_mL - U_mС) ² (17.32)

Подставляя выражения этих амплитуд и учитывая закон Ома, находим

I² _mZ² = I² _m R²+ (I_m ωL - I_m/Cω) ² (17.33)

где Z– полное сопротивление цепи переменного тока, называемое импедансом. Получаем

(17.34)

где R-активное сопротивление, оно обуславливает выделение количества теплоты в цепи в соответствии с законом Джоуля-Ленца; Х_L-Х_С реактивное сопротивление, оно не вызывает нагревания элементов электрической цепи.

Если индуктивное и ёмкостное сопротивление цепи при их последовательном соединении будут одинаковы Х_L= Х_С, то Z=R. Это означает, что сила тока и приложенное напряжение изменяются в одной фазе так, как будто в цепи имеется только омическое сопротивление; напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по амплитуде, но противоположны по фазе. Такой случай вынужденных электрических колебаний называют резонансом напряжений.

(17.35)

Аналогичным образом с помощью векторной диаграммы можно исследовать явление резонанса при параллельном соединении элементов R, L и C (так называемый резонанс токов).

Явление возрастания амплитуды колебаний тока при совпадении частоты ω колебаний внешнего источника с собственной частотой ω₀ электрической цепи называется электрическим резонансом.

Рис. 17.8 иллюстрирует явление резонанса в последовательном электрическом контуре. На рисунке графически изображена зависимость отношения амплитуды U_C напряжения на конденсаторе к амплитуде U_m напряжения источника от его частоты ω для различных значений добротности Q. Кривые на рис. 17.8 называются резонансными кривыми.

Можно показать, что максимум резонансных кривых для контуров с низкой добротностью несколько сдвинуты в область низких частот.