§ 15.2 Закон полного тока. Индукция магнитного поля соленоида и тороида. Теорема Гаусса для вектора в

Вихревой характер магнитного поля проявляется также при опреде­лении циркуляции вектора напряженности поля. Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется интеграл вида

(15.13)

[dℓ— вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bcosα — составляющая вектора B в направлении каса­тельной к контуру, α — угол между векторами и dℓ].

Выберем в магнитном поле бесконечного прямолинейного проводника с током I произвольный контур, совпадающий с одной из силовых линий, охватывающих ток. Силовые линии бесконечно длинного прямолинейно­го проводника представляют собой концентрические окружности. В каж­дой точке этого контура вектор одинаков по модулю; следовательно, циркуляция вектора равна

(15.14)

[r₀ — радиус выбранной силовой линии, т. е. окружностью.

Еcли контур охватывает систему токов, то токи складываются.

Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

(15.15)

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, если его направление соответствует перемещению правовинтового буравчика при вращении его в соответствии с выбранным направлением обхода контура. Ток противоположного направления считается отрицательны.

Например, если контур охватывает три тока (рис. 15.5: 1 и 2 – положительные , 3 – отрицательный), то закон полного тока для этого случая имеет вид:

(15.16)

Выражение справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Сравнивая выражения для циркуляции векторов () и (), видим, что между ними существует принципиальное различие. Циркуляция вектора Е электростатического поля всегда равна нулю, т.е. электростатическое поле является потенциальным. Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

• Магнитное поле соленоида и тороида

Магнитное поле тока можно усилить, если провод, по которому идёт ток, свернуть в форме винтовой спирали. В результате этого цилиндрическую катушку, состоящую из большого числа намотанных вплотную друг к другу витков проводника. называют соленоидом. При пропускании через соленоид электрического тока внутри и вне соленоида возникает магнитное поле, напряженность которого пропорциональна силе тока и (приближенно) числу витков. Соленоид с магнитным сердечником представляет собой электромагнит.

Внутри соленоида поле направлено в сторону, определяемуюправилом обхвата правой рукой для катушки стоком (рис.15.6): если обхватить соленоид ладонью правой руки, направив четыре пальца по току в витках, то отставленный большой палец покажет направление магнитных линий внутри соленоида.

Как и у магнита, у соленоида есть два полюса – северный N и южный S. Силовые линии магнитного поля выходят из северного полюса и входят в южный. Характер взаимодействия соленоида такой же, как у магнитов, разноимённые магнитные полюса притягиваются, а одноимённые отталкиваются.

В отличии от электрических зарядов отдельных магнитных полюсов нет. Сколько бы мы не делили магнит пополам мы не получим отдельно северного и южного полюса.

Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной ℓ, имеющий N витков, по которому течёт ток (рис.15.7). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т.е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур 1234. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру 12341, охватывающему все N витков, равна

Интеграл по 12341 можно представить в виде четырёх интегралов: по 12, 23, 34 и 41.

На участках 23 и 41 контур перпендикулярен линиям магнитной индукции cos90°=0, поэтому В= 0. На участке вне соленоида34 В=0. На участке 12 циркуляция вектора В равна Вℓ (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

(15.17)

Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида.

Тороид – кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис.15.8). Магнитное поле сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симметрии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда по теореме о циркуляции

В∙2πr = μ₀ NI

Отсюда следует, что магнитная индукция внутри тороида ( в вакууме)

(15.18)

где N – число витков тороида. Если контур проходит вне тороида, то токов он не

охватывает и В∙2πr = 0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует.

Площадка S находится в однородном магнитном поле с индукцией В (рис.15.9). Проведём линии магнитной индукции сквозь эту площадку и её проекцию S₀ на плоскость, перпендикулярную этим линиям. Число линий, пронизывающих площадки S и S₀ одинаково.

Магнитным потоком ( потоком вектора магнитной индукции), пронизывающим площадку S, называют скалярную величину, равную

Ф = ВS₀.

• Единица магнитного потока – вебер (Вб).

Из рисунка следует, что S₀ = S cosα , откуда

Ф = ВS cosα (15.19)

Или

Ф = В_nS

( В_n = В cosα - проекция вектора В на направление нормали к площадке. Так как В_n – скаляр, то и магнитный поток – величина скалярная).

Магнитный поток равен числу линий магнитной индукции, проходящих сквозь данную поверхность. Учитывая это, можно считать, что В, характеризует плотность потока магнитной индукции.

В случае неоднородного магнитного поля поверхность произвольной формы разбиваем на элементарные площадки , в пределах которых считаем поле однородным, тогда

dФ = В_n dS

Полный поток сквозь рассматриваемую поверхность равен

Если поверхность замкнута, то справедлива теорема Гаусса для поля В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

(15.20)

Она свидетельствует об отсутствии в природе магнитных зарядов, т.е. замкнутости магнитных силовых линий.

Рассчитаем поток вектора В через соленоид

Магнитная индукция внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ, равна

Магнитный поток через один виток соленоида площадью S равен

Ф₁ = ВS

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

(15.21)