8. Радианы, тригонометр.функции

Определение и графики тригонометрических функций

1. Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций чрезвычайно разнообразны. Так, например, любые периодические процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций (ряда Фурье). Данные функции часто появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

2. К тригонометрическим функциям относятся следующие 6 функций: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для каждой из указанных функций существует обратная тригонометрическая функция.

3. Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На приведенном ниже рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M(x,y). Угол между радиус-вектором OM и положительным направлением оси Ox равен α.

4. Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к радиусу r: sin α = y/r. Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M(x,y).

5. Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к радиусу r: cos α = x/r = x

6. Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки M(x,y) к ee абсциссе x: tan α = y/x,   x ≠ 0

7. Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки M(x,y) к ее ординате y: cot α = x/y,   y ≠ 0

8. Секанс угла α − это отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y): sec α = r/x = 1/x,   x ≠ 0

9. Косеканс угла α − это отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y): cosec α = r/y = 1/y,   y ≠ 0

10. В единичном круге проекции x, y точки M(x,y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, приведенные выше определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом: Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом угла α называется противолежащего катета к прилежащему. Котангенсом угла α называется прилежащего катета к противолежащему.

11. График функции синус y = sin x, область определения: x ∈ ℜ, область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1

12. График функции косинус y = cos x, область определения: x ∈ ℜ, область значений: −1 ≤ cos x ≤ 1

13. График функции тангенс y = ttg x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ (2k + 1)π/2, область значений: −∞ < tg x < ∞

14. График функции котангенс y = ctg x, область определения: x ∈ ℜ, x ≠ kπ, область значений: −∞ < ctg x < ∞