Министерство образования и науки рф
ГОУ ВПО
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кафедра Экономико-математических методов и моделей
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине Финансовая математика
Вариант №3
Студент Щапина М.Ю.
№ группы 1С-ФК420
Личное дело № 10ффд40143
Преподаватель Михайлов В.Н.
Москва – 2011
Задание 1
В таблице 1.1 приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (16 кварталов).
Таблица 1.1
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
Y(t) |
31 |
40 |
47 |
31 |
34 |
44 |
54 |
33 |
37 |
48 |
57 |
35 |
42 |
52 |
62 |
39 |
Требуется:
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания α1 = 0,3;
α2 = 0,6; α3 = 0,3.
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации;
Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию ( критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.
Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
1. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
Yр (t) = [a(t-1) + b(t-1)] x F(t-4) (1)
Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул:
a(t) = α1 x Y(t)/ F(t-4) + (1- α1) x [a(t-1) + b(t-1)] (2)
b(t) = α3 x [a(t) – a(t-1)] + (1- α3) x b( t-1) (3)
F(t) = α2 x Y(t)/a(t) + (1- α2) x F(t-4) (4)
Из формул 1-4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени.
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8-ми значениям Y(t) из табл. 1.1. Линейная модель имеет вид:
y(t) = a + bt (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам:
b(0) = [∑ (Y(t) –Yср) х (t-tср)] / ∑(t-tср)2 (6)
a(0) = Yср – b(0) x tср (7)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1.1, находим значения а(0) и b(0):
Таблица 1.2
t |
Y(t) |
t-t |
(t-t) |
Y-Y |
(Y-Y)(t-t) |
1 |
31 |
-3,5 |
12,25 |
-8,25 |
28,875 |
2 |
40 |
-2,5 |
6,25 |
0,75 |
-1,875 |
3 |
47 |
-1,5 |
2,25 |
7,75 |
-11,625 |
4 |
31 |
-0,5 |
0,25 |
-8,25 |
4,125 |
5 |
34 |
0,5 |
0,25 |
-5,25 |
-2,625 |
6 |
44 |
1,5 |
2,25 |
4,75 |
7,125 |
7 |
54 |
2,5 |
6,25 |
14,75 |
36,875 |
8 |
33 |
3,5 |
12,25 |
-6,25 |
-21,875 |
36 |
314 |
0 |
42 |
0 |
39 |
4,5 |
39,25 |
|
|
|
|
b(0) = [∑ (Y(t) –Yср) х (t-tср)] / ∑(t-tср)2 = 39/ 42 = 0,928571429 = 0,93
a(0) = Yср – b(0) x tср = 39,25 – 0,93 х 4,5=35,065 = 35,07
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
y(t) = 35,07 + 0,93t
Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 1.3)
Таблица 1.3
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
Y(t) |
31 |
40 |
47 |
31 |
34 |
44 |
54 |
33 |
y(t) |
36,00 |
36,93 |
37,86 |
38,79 |
39,72 |
40,65 |
41,58 |
42,51 |
Коэффициент сезонности – есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/y(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5)Y(5)/y(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F(-3) = [Y(1)/y(1) + Y(5)/ y(5)]/2 = [31/36 + 34/39,72]/2 = 0,86
F(-2) = [Y(2)/y(2) + Y(6)/ y(6)]/2 = [40/36,93 + 44/40,65]/2 = 1,08
F(-1) = [Y(3)/y(3) + Y(7)/ y(7)]/2 = [47/37,86 + 54/41,58]/2 = 1,27
F(0) = [Y(4)/y(4) + Y(8)/ y(8)]/2 = [31/38,79 + 33/42,51]/2 = 0,79
Построим адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса (табл. 1.4) используя формулы 1-4.
Полагая, что t=1, находим Yр(1):
Yр (1) = [a(0) + b(0)] x F(-3) = [35,07+0,93]x 0,86 = 30,91
a(1) = α1 x Y(t)/ F(t-4) + (1- α1) x [a(t-1) + b(t-1)]
= 0,3 x 31/0,86 + (1-0,3)x [35,07 + 0,93) = 36,03
b(1) = α3 x [a(t) – a(t-1)] + (1- α3) x b( t-1) = 0,3 x [36,03 – 35,07] + (1-0,3) x 0,93 = 0,94
F(1) = α2 x Y(t)/a(t) + (1- α2) x F(t-4)= 0,6 x 31/36,03 + (1-0,6) x 0,86 = 0,86
Таблица 1.4