3.4.3. Операции над бинарными отношениями.

Определение: Бинарным отношением R, заданным на множестве V называется подмножество множества VV.

Если __ V (__) R, то говорят, что для данной пары выполняется бинарное отношение R, т. е._R_

1. Пусть имеется два отношения R₁ и R₂. Объединением R₁R₂ называется бинарное отношение, полученное в результате теоретико-множественного объединения R₁ и R₂.

2. Произведением R₁  R₂ называется бинарное отношение со следующим свойством: _R₁R₂_в том и только том случае, если найдется такой элемент что_R₁иR₂_.

3. Транзитивным замыканием R называется бинарное отношение со следующим свойством: ₀R_nв том и только том случае, если найдется такая последовательность элементов ___n, n что _iR_i+1,inR R.

4. Пусть Е – отношение равенства: _E_в том и только том случае, если __

5. Транзитивно-рефлексивным замыканием R* отношения R называется бинарное отношение, вычисленное по формуле R*=ER.

6. Бинарное отношение на конечном множестве можно задать квадратной матрицей порядка n, где n – число элементов множества. Пусть элементы множества V некоторым образом пронумерованы числами от 1 до n: V = { ___n }. Тогда отношение R на V задается матрицей _ij_ij=1, если _iR_j, и _ij=0, если для пары (_i, _j) отношение не выполнено.

Определим некоторые бинарные отношения на множествах нетерминальных символов КС-грамматик:

Пусть G = (V_T, V_A, I, S).

Пусть (А₁, А₂) – пара нетерминальных символов.

1. Будем считать, что для пары (А₁, А₂) в грамматике G выполняется отношение D_N, если во множестве правил S содержится правило вывода А₁А₂. Если справедлива запись А₁ D_N А₂, то говорят, что А₂ – непосредственно выводим из символа А₁ без расширения.

2. Будем считать, что для пары (А₁, А₂) в грамматике G выполняется отношение D_W, если во множестве правил S содержится правило вывода А₁_А₂_, где _,_(V_TV_A)* и хотя бы одна из них не пустая. Если справедлива запись А₁D_WА₂, то говорят, что символ А₂ непосредственно выводим из символа А₁ с расширением.

3. Обозначим D_ND_W через D. Если справедлива запись А₁DА₂, то говорят, что символ А₂ непосредственно выводим из А₁.

Определение: 1) Нетерминальный символ КС-грамматики (контекстно-свободной) называется выводимым, если он является начальным символом или существует вывод из начального символа цепочки, содержащей вхождение данного символа.

2) Нетерминальный символ КС-грамматики называется производящим, если существует вывод из этого символа терминальной цепочки.

3) Нетерминальный символ КС-грамматики называется существенным, если он выводимый и производящий.

Лемма1: Существует эффективный алгоритм, выделяющий подмножество существенных символов из множества нетерминальных символов производящей КС-грамматики.

Определение: 1) КС – грамматика, все нетерминальные символы которой существенны, называется приведенной.

2) Нетерминальный символ КС-грамматики называется циклическим, если в этой КС-грамматике существует вывод из этого символа цепочки, содержащей вхождение этого символа. В противном случае символ – нециклический.

3) КС-грамматика называется циклической, если в ней есть хотя бы один циклический символ.

4) Вывод в КС-грамматике называется циклическим, если в его цепочках найдутся два таких вхождения некоторого нетерминального символа, которые будут являться предком и потомком друг друга.

Лемма2: Существует эффективный алгоритм выделения подмножества символов произвольной КС-грамматики.

Лемма3: Нециклическая КС-грамматика порождает конечный язык.

Определение: Циклический символ КС-грамматики эффективный, если в ней существует вывод из этого символа цепочки более одного элемента, содержащей данный символ, в противном случае – фиктивный.

Пример 12: Символ A в приведенной ниже грамматике - фиктивный

IAB Bb

A C CA

Aa

Лемма4: Существует эффективный алгоритм выделения эффективных циклических символов произвольной КС-грамматики.

 Теорема 2: Для того чтобы приведенная КС-грамматика порождала бесконечный язык необходимо и достаточно, чтобы она была циклической и содержала хотя бы один эффективный циклический символ.

 Теорема 3: По любой УКС-грамматике (укороченная контекстно-свободная) может быть построена почти эквивалентная ей КС-грамматика.

Упражнения

1. В таблице 1 представлено множество S правил грамматики определяющей язык записи числа. Определите для этой грамматики V_Т, V_A, I.

2. В таблице 1 представлено множество S правил грамматики определяющей язык записи числа. Определите для этой грамматики эффективный циклический символ и укажите правило доказывающее это.

3. В таблице 1 представлено множество S правил грамматики определяющей язык записи числа. Определите тип этой грамматики. Обоснуйте ответ.

4. В таблице 1 представлено множество S правил грамматики определяющей язык записи числа. Запишите бинарные отношения для пар (П,Ф) и (М,Б).

5. Постройте синтаксическое дерево вывода числа -12,5е-7

6. Напишите линейно-скобочную запись числа +32.7е-23

7. Определите грамматику, порождающую язык определения идентификатора. V_Т={И,Б,Ц,’_’} где И - идентификатор, Б - буква, Ц - цифра, ’_’ - знак подчеркивания. Для определения идентификатора используйте правила языка Паскаль.