Глава 1. Численные методы алгебры
1.4.1.Задание к лабораторной работе «Решение систем линейных алгебраических уравнений методом квадратного корня»
1.Решить СЛАУ аналитически методом квадратного корня (см. табл. 1.3).
2.Написать программу для решения СЛАУ методом квадратного корня. Решить с ее помощью СЛАУ.
3.Найти меру обусловленности симметричной матрицы A, используя сте-
пенной метод для нахождения наибольших по модулю собственных значений матриц A и A 1.
4. Оформить отчет о лабораторной работе: а) теоретическая часть;
б) аналитическое решение системы методом квадратного корня; в) текст программы; г) результаты.
1.5.Решение систем линейных алгебраических уравнений с трёхдиагональной матрицей методом прогонки
Рассмотрим СЛАУ вида: |
|
aiyi 1 + biyi + ciyi+1 = fi; i = 1; 2; :::; n 1; |
(1.5.1) |
y0 = 1y1 + 1; yn = 2yn 1 + 2; |
(1.5.2) |
36
Глава 1. Численные методы алгебры
где
01
|
y0 |
C |
|
|
B |
|
|
Y~ |
B |
C |
— вектор решения. |
= B y1 |
C |
||
|
B |
C |
|
B::: C
BC
@ yn A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В матричном форме СЛАУ можно записать так: |
|
||||||||||||
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
::: |
|
0 |
|
1 |
0 |
y0 |
|
B a1 |
b1 |
c1 |
0 |
0 |
::: |
|
0 |
|
C |
B |
y1 |
|
|
B |
0 |
a2 |
b2 |
c2 |
0 |
::: |
|
0 |
|
C |
B |
y2 |
|
A = B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
::: |
|
|
::: |
|
|
|
::: |
|
C |
B |
::: |
|
B |
0 |
0 |
0 |
::: |
an 1 |
bn |
1 |
cn |
1 |
C |
B yn |
1 |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
::: |
2 |
1 |
|
C |
B |
yn |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
@ |
|
|
1 0 1
1
C B C
C B C
CB f1 C
C B C
C |
= B |
f2 |
C |
: |
C |
B |
|
C |
|
C |
B |
|
C |
|
CB ::: C
CB C
C B C
CB fn 1 CCC B
A @ A
2
Решение системы (1.5.1), (1.5.2) ищем в виде
yi = i+1yi+1 + i+1:
Из (1.5.3) следует
yi 1 = iyi + i:
Подставим (1.5.4) в (1.5.1):
ai( iyi + i) + biyi + ciyi+1 = fi; |
i = 1; 2; :::; n 1: |
|||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= |
|
|
ci |
y |
|
|
|
+ |
fi ai i |
: |
|
|
|
ai i + bi |
i+1 |
|
|
||||||||||
|
i |
|
|
|
ai i + bi |
|
||||||||
Сравнив (1.5.3) и (1.5.5), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8 |
i+1 = |
ci |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||
ai i + bi |
|
|
|
|
|
|
||||||||
> |
|
|
|
fi |
ai i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
i+1 |
= |
|
|
; |
|
|
i = 1; :::; n |
|
1: |
||||
ai |
i + bi |
|
|
|||||||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.5.3)
(1.5.4)
(1.5.5)
37
Глава 1. Численные методы алгебры
Из (1.5.2) следует 1 = 1, 1 = 1. Из (1.5.3) при i = n 1
yn 1 = nyn + n:
Подставим (1.5.6) в (1.5.2) и получим
yn = 2 n + 2 : 1 2 n
Запишем формулы в порядке их применения:
a) прямой ход метода прогонки:
|
|
1 = 1; |
1 = 1; |
|
|
||
|
|
i+1 = |
ci |
|
|
||
|
|
|
; |
|
|
||
|
ai i + bi |
|
|
||||
|
= |
fi ai i |
; |
i = 1; :::; n |
|
1: |
|
i+1 |
|
ai i + bi |
|
|
|
||
б) обратный ход метода прогонки:
yn = 2 n + 2 ; 1 2 n
yi = i+1yi+1 + i+1; i = n 1; n 2; :::; 0:
(1.5.6)
(1.5.7)
Достаточные условия применимости метода прогонки: jbij jaij + jcij,
(j 1j 1 и j 2j < 1) или (j 1j < 1 и j 2j 1).
Пример. Пусть матрица СЛАУ имеет вид:
01
1 1 0 0
BC
B |
1 |
15 2 0 |
C |
: |
B |
|
|
C |
|
B |
|
|
C |
|
B0 1 3 1 C
BC
@ A
0 0 1 1
38
Глава 1. Численные методы алгебры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Свободные члены: |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
38 |
|
C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
6 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1; |
|
1 = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 = |
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
a1 1 + b1 |
1 + 15 |
8 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 = |
f1 a1 1 |
= |
|
38 + 2 |
= |
5 |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a1 1 + b1 |
|
|
|
|
1 + 15 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 = |
|
|
c2 |
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
8 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
a2 2 + b2 |
|
0:125 + 3 |
23 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
= |
f2 a2 2 |
= |
|
|
|
|
11 + 2:5 |
|
= |
|
108 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
a2 2 + b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0:125 + 3 |
23 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y3 |
= |
2 3 + 2 |
= |
1 (108=23) + 6 |
= 2; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 8=23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
108 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y2 = 3y3 + 3 = |
|
|
|
2 + |
|
|
= 4; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
23 |
|
23 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y1 = |
|
4 + 2; 5 = 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
y0 = 3 2 = 1:
1.5.1.Задание к лабораторной работе «Решение СЛАУ с трёхдиагональной матрицей методом прогонки»
1. Решить СЛАУ с трехдиагональной матрицей аналитически методом
прогонки (табл. 1.4).
39
Глава 1. Численные методы алгебры
2.Написать программу решения СЛАУ методом прогонки. Решить с ее помощью СЛАУ из своего варианта.
3.Оформить отчет по лабораторной работе:
а) теоретическая часть;
б) аналитическое решение системы методом прогонки;
в) текст программы;
г) результаты.
Таблица 1.4. Варианты задания для решения СЛАУ ~ с трехдиагональной
A~x = b
матрицей методом прогонки
|
№ вар. |
|
|
|
|
№ вар. |
|
|
|
|
№ вар. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
0 |
0 |
j11 |
1 |
5 |
0 |
|
0 |
j27 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
j 2 |
10 10 7 |
0 |
j13 |
9 |
6 |
9 |
0 |
j27 |
7 |
4 1 |
0 |
j34 |
|||||
0 |
6 5 |
3 |
j 54 |
0 |
5 |
8 |
3 |
j 14 |
0 |
6 |
6 |
5 |
j 15 |
|||
0 |
0 |
7 |
1 |
j64 |
0 |
0 |
4 |
|
1 |
j 12 |
0 |
0 |
8 |
|
1 |
j 49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 0 |
0 |
j 63 |
1 |
9 |
0 |
|
0 |
j 86 |
1 |
1 |
0 |
|
0 |
j 8 |
|
5 |
4 |
1 |
0 |
j 24 |
9 |
5 |
1 |
0 |
j18 |
5 |
4 |
7 |
0 |
j 58 |
||
0 |
6 3 |
1 |
j 40 |
0 |
7 |
0 |
|
1 |
j61 |
0 |
8 |
8 |
|
5 |
j22 |
|
0 |
0 |
2 |
1 |
j11 |
0 |
0 |
3 |
1 |
j 3 |
0 |
0 |
7 |
1 |
j 65 |
||
40
Глава 1. Численные методы алгебры
Продолжение табл. 1.4.
|
|
№ вар. |
|
|
|
№ вар. |
|
|
|
№ вар. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
0 |
0 |
j 37 |
1 6 |
0 |
0 |
j 45 |
1 |
4 |
0 |
0 |
j 15 |
|
5 7 |
2 |
0 |
j 17 |
2 2 |
4 |
0 |
j36 |
3 |
6 1 0 |
j 1 |
||||
0 |
4 |
4 |
9 |
j 71 |
0 1 |
4 6 |
j 3 |
0 |
5 |
3 6 |
j63 |
|||
0 |
0 |
9 |
1 |
j 51 |
0 0 |
8 |
1 |
j79 |
0 |
0 |
4 |
1 |
j 28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
0 |
0 |
j 33 |
1 8 |
0 |
0 |
j80 |
1 |
10 |
0 |
0 |
j 8 |
|
1 2 |
8 0 |
j76 |
4 4 |
1 0 |
j 8 |
8 |
7 |
1 |
0 |
j68 |
||||
0 |
9 |
0 |
3 |
j42 |
0 |
3 |
7 |
6 |
j 109 |
0 |
3 |
8 |
3 |
j 26 |
0 |
0 |
8 1 |
j69 |
0 0 |
3 |
1 |
j21 |
0 |
0 |
4 |
1 |
j18 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
5 |
0 |
0 |
j 13 |
1 3 |
0 |
0 |
j12 |
1 |
7 0 0 |
j26 |
|||
8 |
4 |
3 0 |
j 92 |
9 7 |
10 0 |
j74 |
3 |
6 |
1 |
0 |
j 4 |
|||
0 |
1 |
9 |
7 |
j 122 |
0 |
7 |
10 |
3 |
j 10 |
0 |
5 |
3 |
1 |
j11 |
0 |
0 |
7 |
1 |
j49 |
0 0 |
3 |
1 |
j 1 |
0 |
0 |
2 1 |
j 5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
0 |
0 |
j19 |
1 10 |
0 |
0 |
j33 |
1 |
9 |
0 |
0 |
j 41 |
|
3 3 |
2 |
0 |
j53 |
5 5 |
4 |
0 |
j 13 |
4 |
3 0 0 |
j 1 |
||||
0 |
5 |
1 6 |
j 17 |
0 1 |
9 |
7 |
j 32 |
0 |
5 |
7 5 |
j51 |
|||
0 |
0 |
6 1 |
j 47 |
0 0 |
6 |
1 |
j 47 |
0 |
0 |
4 1 |
j11 |
|||
41
Глава 1. Численные методы алгебры
Окончание табл. 1.4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
3 |
0 |
0 |
j 39 |
1 |
8 |
0 |
0 |
j 57 |
1 |
3 |
0 |
0 |
j 28 |
|||
0 |
2 |
4 |
0 |
j |
4 |
1 |
0 |
7 |
0 |
j 27 |
6 |
1 |
8 |
0 |
j 105 |
||
0 |
6 2 |
4 |
j 96 |
0 |
3 |
2 |
1 |
j 11 |
0 |
1 8 4 j 47 |
|||||||
0 |
0 |
7 |
1 |
j 21 |
0 |
0 |
9 |
1 |
j 38 |
0 |
0 |
6 |
1 |
j 46 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
7 |
0 |
0 |
j 16 |
1 |
1 |
0 |
0 |
j |
0 |
1 |
9 |
0 |
0 |
j 87 |
||
7 |
10 5 |
0 |
j 46 |
0 |
5 |
1 |
0 |
j |
9 |
0 |
2 10 |
0 |
j 62 |
||||
0 |
7 |
3 |
10 |
j |
62 |
0 |
6 |
7 |
9 |
j114 |
0 |
9 |
7 |
10 |
j 197 |
||
0 |
0 |
7 |
1 |
j 66 |
0 |
0 |
9 |
1 |
j 48 |
0 |
0 |
8 |
1 |
j70 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
4 |
0 |
0 |
j 15 |
1 |
2 |
0 |
0 |
j 5 |
1 |
5 |
0 |
0 |
j28 |
|||
7 |
9 |
4 |
0 |
j 18 |
10 |
7 |
8 |
0 |
j 42 |
1 9 6 |
0 |
j 58 |
|||||
0 |
5 |
10 |
3 |
j119 |
0 |
1 |
3 |
3 |
j |
10 |
0 |
7 |
2 |
3 |
j61 |
||
0 |
0 |
9 |
1 |
j 71 |
0 |
0 |
4 |
1 |
j 8 |
0 |
0 |
10 |
1 |
j17 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
10 |
0 |
0 |
j 71 |
1 |
7 |
0 |
0 |
j 43 |
1 |
9 |
0 |
0 |
j49 |
|||
2 |
9 |
9 |
0 |
j142 |
8 |
7 |
7 |
0 |
j 71 |
1 |
1 |
2 |
0 |
j |
13 |
||
0 |
5 |
7 |
2 |
j 26 |
0 |
4 |
9 |
6 |
j154 |
0 |
8 |
5 |
7 |
j |
29 |
||
0 |
0 |
6 |
1 |
j 55 |
0 |
0 |
3 |
1 |
j 36 |
0 |
0 |
1 |
1 |
j 1 |
|||
42