Глава 1. Численные методы алгебры

Окончание табл. 1.3.

1.4.Решение систем линейных алгебраических уравнений методом квадратного корня

Метод квадратного корня по содержанию близок к LU-разложению. Ос-

новное отличие состоит в том, что метод квадратного корня дает упрощение

для симметричных матриц.

~

Рассмотрим систему уравнений A~x = f. Пусть все главные миноры мат-

рицы A = (aij) отличны от нуля, т.е.

Метод квадратного корня основан на разложении матрицы A в произве-

дение

A = S TDS;

33

Глава 1. Численные методы алгебры

где S – верхняя треугольная матрица с положительными элементами на главной диагонали, S T – транспонированная к ней матрица, а D – диагональная матрица с элементами dii = 1; i = 1; :::; n.

Пусть A(n n) . Тогда

n

X

(S TDS)ij = sTikdkkskj:

k=1

Отсюда

n

X

k=1

Так как матрица A симметричная, не ограничивая общности, будем считать, что выполняется неравенство i j. Тогда (1.4.1) можно переписать в виде

34

Глава 1. Численные методы алгебры

При i < j получим

По формулам (1.4.2) и (1.4.3) находим рекуррентно все ненулевые элемен-

ты матрицы S. Запишем порядок вычисления элементов матриц S и D:

d11; s11; s12; s13; :::; s1n; d22; s22; s23; s24; :::; s2n;

:::

dnn; snn:

Обратный ход метода квадратного корня состоит в последовательном ре-

шении двух систем уравнений с треугольными матрицами:

Решения этих систем находим по рекуррентным формулам

>

>

>

>

:

Всего метод квадратного корня при факторизации A = S TDS требует

примерно n3=6 операций умножения и деления и n операций извлечения квад-

ратного корня (см., например, [1]).

35