Глава 1. Численные методы алгебры
Если
01
9 1
A = @ A; то kAk1 = 10; kAk1 = 18:
91
1.1.2.Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
Система устойчива, если при небольшом изменении входных данных из-
менения решения будут небольшими. Пусть
~
A~x = f; где A = (aij)m m:
Тогда
~ ~
(A + A)(~x + ~x) = f + f;
где A – погрешность матрицы коэффициентов A, ~x – погрешность решения
~ |
~ |
~x, f – погрешность правой части f уравнения. |
|
~ |
= 0 , то рассматривают коэффициентную устойчивость. Если |
Если f |
|
A = 0 , то рассматривают устойчивость по правой части.
Определение. Система линейных алгебраических уравнений устойчива, ес-
ли существует константа C > 0, такая, что k ~xk |
|
|
~ |
|
|
|
||||||||||||||
C k fk. |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Далее будем предполагать, что A = 0, т.е. будем есть рассматривать |
|||||||||||||||||||
устойчивость по правой части. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A ~x = f~; ~x = A 1 f~: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
k ~xk=k~xk |
= |
kA 1 f~k kA ~xk |
= |
kA 1 f~k |
|
kA~xk |
k |
A |
k k |
A 1 |
k |
= (A); |
|||||||
|
k |
~ ~ |
|
k k k |
~ |
|
k |
~ |
~x |
|
|
|
||||||||
|
f |
k k |
k |
|
f |
k |
|
f |
k |
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
= f |
|
|
~x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где (A) – мера обусловленности матрицы A. Имеет место неравенство
(A) 1:
13
Глава 1. Численные методы алгебры
Действительно: 1 = kEk = kA A 1k kAk kA 1k = (A).
Если (A) 1 , то матрица |
– плохо обусловлена, т.е. небольшие измене- |
||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
ния в правой части системы (норма k fk мала), могут привести к существен- |
|||||||
ным изменениям решения. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений |
|||||||
0 |
1000 |
0 |
1 0 x1 |
1 |
= 0 |
1000 |
1: |
@ |
0 |
0:001 |
A @ x2 |
A |
@ |
0:001 |
A |
Ее решение x1 = 1; x2 = 1. При этом k~xk1 = 1. Сделаем небольшое (по
норме) изменение правой части: |
|
|
|
|
|
|
|
||
f1 = 0:1; f2 = 0:1; |
|
~ |
= 0:1: |
|
|||||
k fk1 |
|
||||||||
Тогда |
|
|
1 0 |
|
1 |
= 0 |
|
1 |
|
0 |
1000 |
0 |
x1 |
0:1 |
: |
||||
@ |
0 |
0:001 |
A @ x2 |
A |
@ |
0:1 |
A |
|
|
Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = 0:0001; |
x2 = 100; |
|
k ~xk1 = 100: |
||||||
При этом
01
A 1 |
0:001 |
0 |
= @ |
A; kAk1 = 1000; kA 1k1 = 1000; |
01000
(A) = 1000 1000 = 1000000:
Вобщем случае имеет место следующая теорема. Теорема[1]. Если k Ak < kA 1k 1, то
k ~x k |
|
|
|
( ) A |
k f~ k |
+ k A k!: |
|||||
~x |
|
|
|
A |
|
|
|
~ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
||||
k k |
1 |
|
(A) |
k k |
|
k k |
|
k k |
|||
|
|
|
|
k |
A |
k |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
14
Глава 1. Численные методы алгебры
1.1.3. Степенной метод
Степенной метод позволяет найти наибольшее по модулю собственное значение и собственный вектор квадратной матрицы A. Пусть 1; 2; :::; m - собственные числа матрицы A. Для определенности предположим, что j 1j > j 2j > ::: > j mj. При этом собственному значению i соответствует собственное подпространство (не обязательно одномерное) с базисом ~ei;1; ~ei;2; :::;~ei;ki . Возьмем произвольный ненулевой вектор ~x0 = (x01; x02; :::; x0n). Разложим его по базису из собственных векторов f~ei;kg, i = 1; 2; : : : ; m; k = 1; : : : ; ki, где ki - размерность i-го собственного подпространства, соответствующего собственному значению i. Тогда
~x0 = c1;1~e1;1 + c1;2~e1;2 + ::: + c1;k1~e1;k1 + c2;1~e2;1 + :::
::: + cm;1~em;1 + ::: + cm;km~em;km :
Отсюда следует
A~x0 = 1c1;1~e1;1 + 1c1;2~e1;2 + ::: + 1c1;k1~e1;k1 + 2c2;1~e2;1 + :::
::: + mcm;1~em;1 + ::: + mcm;km~em;km ;
:::;
Ap~x0 = p1c1;1~e1;1 + p1c1;2~e1;2 + ::: + p1c1;k1~e1;k1 + p2c2;1~e2;1 + :::
::: + pmcm;1~em;1 + ::: + pmcm;km~em;km :
Видно, что при больших p доминирует вклад от базисных векторов, отвечающих наибольшему по модулю собственному значению 1. Отсюда получаем алгоритм степенного метода. Строим последовательность векторов:
~x1 = k~x0k; ~x2 = k~x1k; :::; ~xp = k~xp 1k:
Критерий окончания процесса k~xp sign(xpi xpi 1)~xp 1k < " (выражение sign(xpi xpi 1) следует учитывать, поскольку собственное значение матрицы
15
Глава 1. Численные методы алгебры
может быть отрицательным), где точность вычислений " задана (например, " = 0:000001). Тогда 1 xpi =xpi 1k~xp 1k , где ~xp = (xp1; xp2; :::; xpn). Для правильной работы алгоритма важно, чтобы вектор ~x0 содержал ненулевую проекцию на собственное подпространство, отвечающее собственному значению
1.
1.1.4.Нахождение меры обусловленности симметричной матрицы A степенным методом
Если A — симметричная матрица, 1; 2; :::; m — собственные числа, то
евклидова норма kAk = max j ij.
С помощью степенного метода можно найти и норму kAk 1. Для этого
мы должны построить последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A 1~x0 |
A 1~x1 |
|
|
|
A 1~xp 1 |
|||||||||||
~x1 = |
|
|
|
; |
~x2 = |
|
|
; |
:::; |
~xp = |
|
|
|
; |
|||
k~x0k |
k~x1k |
k~xp 1k |
|||||||||||||||
или |
|
~x0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
~xp 1 |
||||
A~x1 = |
A~x2 = |
~x |
|
|
|
A~xp |
|
|
|||||||||
|
; |
|
|
; |
:::; |
= |
|
: |
|||||||||
k~x0k |
k~x |
1k |
k~xp 1k |
||||||||||||||
То есть на каждом шаге для нахождения значения ~xi решаем соответствующую систему линейных алгебраических уравнений A~xi = ~xi 1=k~xi 1k. Критерий окончания процесса k~xp sign(xpi xpi 1)~xp 1k < ", где точность "
задана (в лабораторной работе " = 0:000001). Тогда 1 xpi =xpi 1k~xp 1k и kA 1k = j 1j.
Мера обусловленности матрицы A равна (A) = kAkkA 1k.
16