Глава 1

Численные методы алгебры

1.1.Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений

1.1.1. Нормированные пространства. Свойства нормы матрицы

Определение. Нормированным пространством называется линейное пространство L, в котором для любого элемента x 2 L определён функционал kxk (норма ) такой, что выполняются условия:

1)kxk 0, причём kxk = 0 , x = 0;

2)k xk = j j kxk; 8 2 R;

3) kx + yk kxk + kyk, 8x; y 2 L.

Пример 1. Рассмотрим пространство R1. Здесь kxk = jxj, jx+yj jxj+jyj.

n

XX

k~x + ~yk1 = jxi + yij (jxij + jyij) = k~xk1 + k~yk1:

i=1 i=1

Пример 3. Пусть R2n — n-мерное евклидово пространство,

s

n

P

k~xk2 = jxij2 – евклидова норма.

i=1

p

В общем случае равенство kxk = (x; x) определяет норму в евклидовом пространстве.

9

Глава 1. Численные методы алгебры

Пример 4. Пусть R1n — n-мерное пространство с нормой k~xk1 = max jxij.

i=1;:::;n

Проверим выполнение условия 3 в определении нормированного простран-

ства:

Пример 5. C[a; b] — пространство непрерывных на [a; b] функций, kf(x)k =

max jf(t)j — норма.

t2[a;b]

Докажем выполнение условия 3 в определении нормированного простран-

ства:

kf + gk = max jf(t) + g(t)j max(jf(t)j + jg(t)j)

max jf(t)j + max jg(t)j = kfk + kgk:

t2[a;b] t2[a;b]

Пример 6. Пусть Rpn — n-мерное пространство с нормой

Пример 7. Рассмотрим пространство квадратных матриц:

10

Глава 1. Численные методы алгебры

Пример 8. Пусть A : R22 ! R22, отображение задаётся матрицей

01

Параметризуем окружность единичного радиуса:

88

Рис. 1.1 иллюстрирует понятие нормы в двумерном пространстве (здесь a — окружность единичного радиуса, б — ее образ). Из рисунка следует, что kAk = 4.

В общем случае, если A - симметричная матрица, 1; 2; :::; n – её собственные числа, то евклидова норма kAk = max j ij.

Рис. 1.1.

Рассмотрим свойства нормы матрицы:

1)kA + Bk kAk + kBk,

2)kABk kAk kBk.

11

Глава 1. Численные методы алгебры

Для доказательства свойств 1 и 2 нам понадобится следующее утверждение.

Утверждение. Имеет место равенство kAxk kAk kxk. Из определения нормы матрицы

kAxk kAk: kxk

Отсюда следует утверждение. Докажем свойства нормы матрицы. 1. Запишем цепочку неравенств

k(A + B)xk = kAx + Bxk kAxk + kBxk kAk kxk + kBk kxk:

Поделим все части неравенств на kxk:

k(A + B)xk kAk + kBk ) kA + Bk kAk + kBk: kxk

2. Аналогично

k(AB)xk = kA(Bx)k kAk kBxk kAk kBk kxk:

12