Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5075 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Лекции по моделированию Котов Назарова

.pdf
Скачиваний:
50
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
1.53 Mб
Скачать
☆

Стр. 41. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

o o i i

xi,xi

x ,x ,q,q

 

Ai,Bi,Ci

i, i

i, i

Динамическая модель многозвенного механизма

При построении динамической модели будем рассматривать

следующие силы и моменты, действующие на каждое звено:

FiG сила тяжести

Fi Р и Fi Р1 силы реакции, действующие со стороны "i-1" и "i+1" звеньев

Fi внешние силы

МiG ri FiG (FiG ) момент от силы тяжести

МiР и МiР1 моменты реакций

МiВ внешние моменты

(Fi В ) момент от внешней силы

Mip

 

Zi-1

yi-1

xi-1

 

 

р

 

i

Fi

 

 

G

 

 

Fi

r i

Zi

 

xi

yi

 

p

Fi+1

 

Fi в

Мiв

p Mi+1

Стр. 42. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Силы измеряются в неподвижной, а моменты- в связанной системах координат.

Отметим, что в зависимости от характера сочленения «i-1» и «i»

звеньев в состав сил и моментов реакций входят управляющие силы и моменты, развиваемые исполнительными системами и являющиеся обобщенными силами, отнесенными к координате qi

Qi i Qiтел (1 i )Qiвращ

Для записи динамических уравнений движения звеньев воспользуемся известными уравнениями механики, согласно которым производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех действующих на систему сил, а производная от кинетического момента,

вычисленного относительно какой-либо точки, равна векторной сумме

моментов от всех сил, действующих на систему, относительно той же точки.

Для записи производной от количества движения твердого тела

обозначим через Vi

0 скорость центра масс (который перемещается так, если

бы все действующие силы были приложены к нему).

V 0

V r

 

i

i

i

i

 

d

 

(Vi 0mi

)

d

 

 

 

 

 

 

(mi (Vi i ri )) mi (Vi i ri i ( i ri )) Fi

(7)

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение записано без учета матричных ориентации.

Кинематический момент Ki «i»-го звена относительно точки начала связанной системы координат определяется:

Ki mik (rik Vik ); k

Vik скорость "к"-ой точки, rik ее радиус-вектор,

mik масса

Ki mik rik (Vi i rik ) mik (rik ) (rik ) i mik rik Vi k k k

Стр. 43. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

 

 

riky2

rikz2

 

 

mik (rik

 

k

 

) (rik ) rikx

riky

k

 

k

 

 

 

rikx

rikz

 

 

 

 

k

 

 

Ixx

Ixy

 

 

 

 

 

Ixz

 

I yx

I yy

I yz

I

 

I

zx

I

zy

I

zz

 

 

 

 

 

 

 

 

I – тензор инерции.

mik rik mi ri k

dtd Ki Ii i i (Ii i ) mi ri Vi

rikx

riky

rikx

 

 

rikz

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

rikx2

rikz2

riky

rikz

k

 

k

 

 

 

riky

rikz

2

 

2

 

rikx

riky

 

k

 

k

 

 

 

 

 

 

 

M

i

(8)

C учетом матриц ориентации уравнения (7), (8) могут быть записаны в

виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ii mi (ri )Ti

T

Vi Mi

( i )Ii i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9)

miTi (r ) mV F T m ( ) (r )

 

 

 

i

 

i

i

i

i i i i i

 

Обозначим через Wi

симметричную матрицу

 

 

 

 

Ii

 

mi

(ri )TiT

 

 

 

 

 

 

 

mi

0

0

 

 

Wi

 

 

 

 

 

 

m T (r )

 

0

m

0

 

(10)

 

 

 

 

i

i i

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

Уравнения (9) могут быть записаны в виде:

 

Wi xi

 

 

Mi ( i

)Ii i

 

 

 

 

Ti mi ( i

 

 

 

(11)

 

 

Fi

) (ri ) i

 

Соотношение (11) позволяет определить динамические составляющие сил и моментов отдельных звеньев с заданными геометрическими и инерционными характеристиками при действии на них внешних сил и

Стр. 44. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

моментов. Оно также является рекуррентным, так как силы и моменты реакции, действующие со стороны «i+1» звена равны по модулю, но противоположны по знаку силам и моментам, действующим со стороны «i»-

го звена на «i+1». Таким образом, при известных законах движения стойки

xo (t), xo (t) , а также известных функциях qi (t), qi (t) могут быть определены скорости и ускорения всех звеньев (5; 6). Вместе с тем, принимая

FnP1 MnP 1 0 , т.к. кинематическая цепь механизма является разомкнутой,

можно определить силы и моменты реакций в шарнирах.

Динамическая модель

Динамическая модель ставит своей основной целью определение ускорений движения механизма в зависимости от действующих сил и моментов. Для ее построения воспользуемся принципом Гаусса наименьшего принуждения, который применим как для голономных, так и неголономных

систем.

В своей классической постановке принцип Гаусса заключается в следующем: Пусть заданы конфигурация и скорость системы в момент

времени t. Напишем выражение

 

1

N

 

Fi

 

J

mi (xi

 

)2 , где mi – масса, Fi – силы, действующие на систему,

2

m

 

i 1

 

 

 

 

 

i

 

зависящее от xi

и будем рассматривать те значения, которые возможны при

заданных конфигурациях и скорости системы (определяемых уравнениями связи). Принцип Гаусса утверждает, что в этом классе значений выражение J

для истинного ускорения минимально. Т.е. J min J (xi ) , где xi - истинное ускорение.

Стр. 45. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

J

X* X

Для задачи определения законов движения механической системы под действием заданных сил и моментов принцип Гаусса дает следующее

решение: при заданной конфигурации (определенных значениях xi) и

скоростях механизма ( xi ) вычисляются ускорения путем минимизации меры принуждения с учетом уравнений связей. Затем полученные ускорения интегрируются для определения новой конфигурации и новых скоростей в следующий момент времени.

Таким образом, весь процесс определения законов движения складывается из трех этапов: записи меры принуждения, ее минимизации для определения значений ускорений и интегрирования для нахождения скорости

и положения механизма в пространстве.

Для записи меры принуждения для исполнительного механизма отметим, что матрица Wi (10) определяет инерционные характеристики «i»-

го звена, т.к. она связывает векторы ускорений движения и действующих сил

и моментов. Таким образом, Wi является аналогом mi в выражении для J.

Обозначим через zi (i 1, 2,..., n) вектор ускорений:

 

Wi 1

 

(F G ) (F B ) M B

(

)I

 

 

zi

 

i G

B

i

i

i

i

i

,

 

 

 

Fi

Fi

Ti mi ( i ) (ri ) i

 

 

Стр. 46. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

координаты которого, в соответствии с (11), описывают движение

свободного звена (без учета сил и моментов реакций). Ускорение zi является

Fi

аналогом величины mi в выражении для J.

Кроме инерционных характеристик звеньев будем учитывать инерции движущихся частей приводов, обеспечивающих относительное перемещение звеньев. Для этого представим механическую часть каждого привода кинематической парой пятого класса, образуемой твердыми телами, одно из которых является статором, а другое ротором. Такое представление соответствует достаточно широкому классу роботов, у которых системы приводов расположены в шарнирах соответствующих звеньев.

Относительное положение двух соседних звеньев определяется одним параметром qi.

Учитывая вышесказанное, мера принуждения для всего механизма может быть представлена в виде:

 

 

1

 

 

 

 

 

Qi

 

 

 

 

J0

 

(xi

zi )T Wi (xi

zi ) di (qi

 

)2

 

,

(12)

 

 

 

 

2 i 1

 

 

 

 

di

 

 

 

di – инерция ротора

Будем рассматривать те значения ускорений x, q , которые возможны при заданной конфигурации и скорости, причем возможные в системе ускорения должны удовлетворять уравнениям связи (6).

Принцип наименьшего принуждения для представленной системы можно сформулировать следующим образом: В классе возможных ускорений истинные ускорения обеспечивают единственный минимум выражению (12).

Таким образом, определение ускорений сводится к простой алгебраической задаче о минимуме квадратичной формы (12)

При ограничениях (6). При решении этой задачи можно написать достаточно громоздкие выражения, а можно использовать и другие методы,

Стр. 47. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

не требующие выполнения этой трудоемкой операции, например, метод динамического программирования.

В соответствии с этим методом задача определения значения q1 ,..., qn

сводится к многошаговому рекуррентному процессу.

 

 

xn

Напомним,

если,

например,

рассматривается задача определения управлений

 

qi (i=1,2…n), переводящих систему из состояния qn «i-1» в состояние «i», из условия

x2

x1

x0

q1

n

J0 min Ji (xi 1, qi )

i 1

То ее решение может быть выполнено следующим образом:

J0 minq1 minq 2 ... minqn (J1 (x0 , q1 ) J1 (x1, q2 ),....Jn (xn 1, qn ))minq1 (J1 (x0 , u1 ) minq 2 (J2 (x1, q2 ) ... minqn Jn (xn 1, qn )))

J0 J0 (xo ) min(J1 (x0 , q1 ) J1 (x1 ))

J1 J1 (x1 ) min(J2 (x1, q2 ) J2 (x2 ))

(13)

Ji 1 Ji 1 (xi 1 ) min(Ji (xi 1, qi ) Ji (xi ))

 

i 1, 2,

, n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

q2

 

J

 

 

 

(x

 

z

)T W

(x

 

z

)

 

i i

Q q

i

 

 

1

 

 

 

 

2

i 1

 

i 1

i 1

i

i 1

 

 

2

 

i i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi Ai xi 1 Bi qi

Ci

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку функция

J0

квадратичная, а уравнения связи линейные, то

минимизируемая частичная сумма Ji (xi ) будет в общем случае квадратичной относительно xi . Поэтому решение основного уравнения динамического программирования можно представить в виде квадратичной формы.

Стр. 48. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Ji (xi ) 12 xiT Pi xi SiT xi qi

PiT Pi

Подставляя это значение в уравнение ( ), дифференцируя полученное

выражение по qi и приравнивая полученные производные нулю, получим:

d

(

1

(x

z

)T W

(x

z

 

)

di qi2

Q q

 

 

i 1

 

dqi

2

i 1

i 1

i 1

i 1

 

2

i i

 

 

 

 

 

 

 

12 ( Ai xi 1 Bi qi Ci )T Pi ( Ai xi 1 Bi qi Ci )

SiT ( Ai xi 1 Bi qi Ci ) Ui ) di qi Qi

( Ai xi 1 Bi qi Ci )T Pi Bi SiT Bi 0

(d

BT PB ) q Q (( AT xT

C T )P ST )B

i

 

i i

i

i

i

 

i

i 1

 

i i i i

скаляр привед.

 

 

 

 

 

 

 

 

момент инерции

 

 

 

 

 

 

 

qi

Q (( AT xT

C T )P ST )B

i

i

i 1

i

i

i

i

 

 

 

 

 

 

d

BT PB

 

 

 

 

 

 

 

i

i

i

i

 

 

 

Подставим это значение в выражение ( ).

(14)

(15)

 

 

1

 

xT

P x

ST x

 

U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i 1 i 1 i 1

 

i 1 i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(x

z

 

)T W

(x

z

 

) d

(q

Qi

)2

1

xT P x ST x U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i 1

i 1

i 1

 

i 1

 

 

i 1

 

i

i

di

2 i i i i i

 

i

 

Приравняем коэффициенты – матрицы при одинаковых степенях

xi 1 ,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

W

AT (P PB (BT PB d

) 1)B P A

(16)

 

i 1

 

i 1

 

 

 

i

i

 

i i

i i

 

i

 

i

 

i i

i

 

ST

zT W

(ST CT P ) A (Q (ST CT P )B )

 

 

 

 

i 1

 

i 1

 

i 1

 

i

 

i i

i

 

 

i

 

 

i

i i

i

(17)

 

(BT PB d

) 1 BT P A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

i i

 

i

 

 

i i i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = 1, 2,…, n

Граничные условия определяются следующим образом:

Стр. 49. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

12 xnT Pn xn SnT xn Un 12 (xn zn )T Wn (xn zn )

Pn Wn

SnT znTWn

Эти выражения определяют динамическую модель манипулятора. По

известным внешним вилам и моментам определяется ускорение обобщенных

координат.

Алгоритм:

Стр. 50. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Начал. ориентация (силы, моменты)

t=t0

Li,Ti (i=0 ...n)

стат.модель

..

Ai,Bi,Ci,zi,Wi (i=0 ...n)

кинем.модель

Qi (i=1...n)

Pi,Si (i=n...1)

..

qi (i=1...n)

.

qi,qi (i=1...n)

...

xi,xi (i=1...n)

t=t+ t

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности