Лекции по моделированию Котов Назарова
.pdf
Стр. 31. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
u |
|
b pn b |
pn 1 |
b p b |
|
y |
|||
|
|
n |
n 1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
a pn a |
pn 1 |
a p a |
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
n 1 |
|
1 |
0 |
|
|
|
y(t) bn pn ... b1 p b0 u(t) an pn ... a1 p a0
при известной функции u(t) и известных коэффициентах ai, bi, i=0,...,n.
Для этого воспользуемся уравнениями, полученными на предыдущей
x Ax Bu
лекции при переходе от y Cx Du передаточной функции к уравнениям
состояния.
Если an 0 , то моделирование по приведенным уравнениям может быть выполнено явными методами. Если an может равняться нулю, то расчеты выполняются только с использованием неявного метода. Для этого воспользуемся другой формой записи этих уравнений:
x Ax A y Bu
Cx an y bnu
Применим неявный метод Эйлера:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
xi hAxi 1 hA yi 1 |
|||||||||
|
|
a y |
|
|
b u |
|
|
|||
Cx |
|
|
|
|
||||||
|
i 1 |
n i 1 |
n |
i 1 |
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E hA |
|
|
x |
|
|
|
x |
||
|
hA |
|
i 1 |
|
|
|||||
|
C |
|
|
|
|
i |
||||
|
an |
yi 1 |
|
|
|
|||||
A z
hBui 1
hBui 1 bnui 1
V
Стр. 32. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Az V |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
ha0 |
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
ha |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
A |
|
|
|
|
|
|
... |
|
||
... ... ... ... ... ... |
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
h |
1 |
han 1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
1 |
ha |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Вид матрицы A таков, что ее можно представить в виде:
A Lu , где
|
|
1 |
0 |
0 ... |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
... |
0 |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
h |
1 |
0 ... |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
... |
0 |
g2 |
|
|
L |
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
; |
U |
|
|
|
|
|
... |
|
|||
... |
... |
... ... ... ... |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 ... |
h |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
... |
1 |
gn |
|
||
|
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
gn 1 |
|||||||||||
g1 ha0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
gn 1 |
gn |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gi h(gi 1 ai 1 ), i 2,...n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Уравнение Az=V будет иметь вид:
и его решение сводится к последовательному решению двух систем:
Lzˆ V - прямой ход
Uz zˆ - обратная подстановка.
Расчетные формулы имеют следующий вид:
zˆ1 V1 |
|
|
|
|||
zˆ2 |
V2 hzˆ1 |
|
|
|||
|
|
|||||
..................... |
|
прямой ход |
||||
|
||||||
zˆn Vn hzˆn 1 |
|
|
||||
|
|
|||||
zˆ |
n |
1 |
V |
zˆ |
|
|
|
n 1 |
n |
|
|
||
Стр. 33. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
zn 1 zˆn 1 / gn 1 |
|
|
|||
zn zˆn gn zn 1 |
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
zn 1 zˆn 1 gn 1zn 1 |
обратная подстановка |
||||
............................... |
|
||||
|
zˆ |
g z |
|
|
|
z |
n 1 |
|
|
||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
det |
|
det L det U 1 gn 1 |
gn 1 |
A |
|||
gn 1 0 при условии |
, что практически всегда выполняется, так |
||
как среди корней знаменателя передаточной функции почти всегда нет корней, расположенных в правой полуплоскости.
Приведенные расчетные формулы достаточно эффективны, требуют незначительности вычислительных затрат.
Математические модели многозвенных манипуляторов РТС.
Специфика объекта исследования – наличие многозвенных исполнительных механизмов манипуляторов, предназначенных для перемещения одних элементов в требуемое перемещение других, и
представляющих в общем случае совокупность твердых тел (звеньев),
выполненных в виде разомкнутой цепи, один из концов которой крепится к подвижному или неподвижному основанию, а второй являемся свободным.
Звенья манипулятора образуют кинематические пары пятого класса,
допускающие вращательные или телескопические (линейные) перемещения.
Именно многозвенность объекта и определяет его отличительные особенности с точки зрения математического моделирования:
-практическая невозможность структурного представления полной динамической модели
-сложность описания в пространстве состояния и разработки эффективных вычислительных алгоритмов (связанных в частности, с
необходимостью обращения матриц).
Стр. 34. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
-необходимость учета динамики приводов, систем управления,
влияния окружающей среды, специфики выполняемых технологических
операций и т.д.
-Эти и другие факторы требуют разработки специальных
(удобных для инженерных исследований) математических моделей и вычислительных алгоритмов.
Задачи исследования, в частности, могут быть названы следующие:
- Определение пространственного положения механизма; анализ
конфигураций; анализ конфликтных ситуаций при совместной работе нескольких роботов, работе со вспомогательным оборудованием,
манипулировании в условиях ограничения окружающей среды.
- Формирование логических функций вида y f (U ,t) ,
определяющих состояние манипулятора, например, y = 0- манипулятор в неработающем состоянии,
y= i- манипулятор в состоянии выполнения «i»-ой операции
-Имитация движения механизма; определение скоростей, ускорений движения одних элементов в зависимости от скоростей и ускорений других элементов, например, для перемещения схвата.
-Определение пропускной способности РКТ
-Определение динамических характеристик переходных процессов:
времени выполнения операции, экстремальных значений фазовых координат,
величины перерегулирования и т.д.
Следует отметить, что в большинстве случаев эти задачи после решения дают ответ в форме «да-нет», только средства (модели) для этого используются различные.
Анализ приведенных выше задач позволяет выделить для дальнейшей разработки 3 основных форм моделей: логическая, кинематическая и динамическая, каждую из которых будем определять в функциональном виде:
Стр. 35. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
U Y
ММ
Математическое описание пространственного положения многозвенных механизмов
Будем использовать следующие обозначения: n- число звеньев,
i=1,2,…n – нумерация звеньев, начиная со стойки. i=0 – стойка;
i=n – схват;
i=-1 – неподвижная система координат.
0 вращательное сочленениеi 1 телескопическое сочленение
1
2
*i |
|
i- 1 |
i |
|
|
||
|
i |
|
|
|
|
|
n
Будем |
также |
использовать |
известный |
подход |
описания |
пространственного положения с помощью специальных систем координат и
параметров Денавита-Хартенберга.
Стр. 36. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
|
|
|
|
|
|
|
|
xi , yi , zi |
i 1,...n |
|
|
|
|
|
|
|||||
В основе пространственного описания многозвенного механизма – |
||||||||||||||||||||
алгоритм перехода из «i-1» системы в «i». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i , i , i , i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Yi 1 LiYi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos i |
cos i |
sin i |
sin i sin i |
|
i cos i |
|
|
||||||||||||
|
sin |
|
cos |
|
cos |
|
sin |
|
cos |
|
|
|
sin |
|
|
|
||||
|
Li |
|
|
i |
|
i |
|
|
i |
|
|
i |
|
i |
|
i |
i |
i |
Li |
i |
|
|
0 |
|
sin i |
|
|
cos i |
|
|
|
|
0 |
1 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti |
Lk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ti |
Ti |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LTi Li 1
TiT Ti 1
Обобщенные координаты. Голономные и неголономные связи
Обозначим через qi относительный угол поворота или относительное перемещение. Эта величина является обобщенной координатой и определяется следующим образом:
qi i i (1 i ) i
Обобщенные координаты механизма – независимые переменные,
полностью определяющие его конфигурацию в пространстве. Строго говоря,
обобщенными координатами могут быть не только qi, но и, например,
декартовы координаты. Но выбор qi влияет множество факторов, например,
близость qi к реальным физическим величинам, реализуемых системой управления.
Стр. 37. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
В общем случае для описания движения манипулятора могут быть использованы l переменных, число которых не равно числу степеней свободы n. Значение n зависит от числа связей между точками звеньев. Эти связи могут быть голономными (позиционными, геометрическими) и
неголономными (скоростными).
Голономные связи определяют зависимости между координатами точек тел системы и записываются в виде:
fi (q1, q2 ,...ql ,t) 0, i 1, 2,...m
Уравнение связи могут быть стационарными и нестационарными,
соответственно без t и с t .
Неголономные связи определяют зависимости между скоростями точек тел системы, не сводящиеся (путем интегрирования) к зависимостям между координатами этих точек, т.е. к голономным связям. Уравнения неголономных связей имеют вид:
l
bik qk bi 0, k 1
если в матричном виде:
q 0(m l)(m 1)
q (q1 ,..., ql )T
число степеней свободы определяется:
Таким образом, с помощью обобщенных координат q1, q2…qn и матриц
Li, Ti определяется пространственное положение механизма, что равносильно статическому или геометрическому моделированию. С помощью моделей этого класса определяются зоны обслуживания (зоны сервиса), решаются задачи обхода препятствий.
Стр. 38. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
|
i |
|
xi,yi,zi |
|||
|
q |
|
|
|
||
|
|
|
Li,Ti |
|
i=0,...,n |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
i=1,...,n |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
i(0), i(0) |
||||||
|
|
|
||||
|
|
|
i, i |
|||
|
|
|
i=0,...,n |
|||
Кинематическая модель
Будут использованы следующие известные соотношения:
|
i |
j |
k |
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
1) a b b a |
ax |
ay |
az |
|
(a )b az |
||
|
b |
b |
b |
|
a |
y |
|
|
x |
y |
z |
|
|
|
|
/ (a) T (a) /
2) r r1 r2 r1 r
az ay
0 ax ax 0
bx
by
b
z
|
dr |
|
|
d |
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dt |
dt |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) |
|
d |
(L ) |
dli |
|
1 |
0 |
0 |
L ( )L |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dt |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(вращение по оси z, T |
(0;0; z ) ) |
|
||||||||||||||||
dtd (LTi ) LTi ( )
Как уже отмечалось, основная задача, которую решает кинематическая модель – определение скоростей, ускорений движения последнего звена
(схвата) в зависимости от скоростей, ускорений движения предыдущих звеньев. Кинематическое моделированиемоделирование движения без учета факторов, его вызвавших (только следствие). это одна их форм имитационного моделирования.
Стр. 39. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
Для разомкнутого многозвенного механизма существенным является рекуррентный характер изменения скоростей и ускорений движения звеньев.
Для получения этих зависимостей будем использовать следующие обозначения.
i-1 i i
*i-1
Zi-1 
*i
yi-1
xi-1
ρi вектор, соединяющий"i-1"и"i" системы
ρi вектор, соединяющий"-1"и"i" системы
xi0 ( xi, yi , zi , Vxi , Vyi , Vzi ) вектор скоростей движения "i" го звена ,
причем угловые скорости ( ) измеряются в связанной системе координат, а
линейные – в неподвижной (-1).
xi |
( i ;Vi )T - вектор ускорений «i»-го звена |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Продифференцируем дважды первое уравнение и с учетом матриц |
|||||||||||||||||||||
ориентации Li |
будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i |
LTi ( i 1 |
qiei 1 (1 i )) |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i |
|
|
|
|
LTi |
LTi ( i 1 qi ei 1 (1 i )) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
LT |
(q e |
1 |
)(1 |
) |
q e |
(1 |
) LT ( |
q e |
(1 |
)) |
|||||||||||
|
i |
|
|
|
i i |
|
|
|
i |
|
i 1 |
|
i i 1 |
|
|
i |
i i 1 |
i i 1 |
i |
|
|
LT ( |
(q e |
1 |
|
e |
q )(1 |
i |
)) |
|
|
|
|
||||||||||
|
i |
|
i 1 |
|
|
i i |
|
|
i 1 |
|
i 1 i |
|
|
|
|
|
|
||||
e (0;0;1)T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
i |
LTi |
( i 1 (qiei 1 |
|
i 1 ei 1qi )(1 i )) |
(2) |
|||||||||||||||
Можно получить уравнение (2) проще: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Стр. 40. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.
LT |
|
1 |
q e |
|
(1 |
) |
( |
1 |
|
q e |
(1 |
)) |
|
|
|||||||||||
|
i |
|
|
i |
|
i |
|
i i 1 |
|
i |
|
i 1 |
|
i |
|
i i 1 |
|
i |
|
|
|
||||
Продифференцируем дважды второе уравнение: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
d |
|
|
d |
|
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dt |
i |
|
|
dt |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Vi |
|
Vi 1 |
Ti 1qiei 1 i |
Ti ( i |
i ) Vi 1 Ti 1qiel 1 i Ti (LTi i ) i (3) |
|
|||||||||||||||||||
|
/( i i ) без учета Li |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Vi Vi 1 Ti 1qiei 1 i 2Ti 1qi i ( i 1 ei 1 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ti 1 (( i 1 (qi ei 1 |
qi i 1 ei 1 )(1 i ) i ) |
|
|
(4) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ( ( LT |
|
))) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i |
i |
|
|
|
i |
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнения (1), (2) и (3), (4) могут быть записаны соответственно в |
|||||||||||||||||||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
Ai xi 1 |
Bi qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
||||||
|
xi |
|
Ai xi 1 |
Bi q Ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Li |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai (6 6) |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
( |
) 0 1 |
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bi |
|
|
|
|
|
(1- i )LTi ei |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6 1)= |
|
|
|
i )Ti 1 ( i |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( iTi 1 (1 |
))ei |
|
|
||||||||
Ci (6 1) Ai xi 1 Ci qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qi LTi (1- i )( i-1 ei-1 ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( i-1 ei-1 ) i |
Ti ( i-1 |
( i (LTi |
|
||||||||
|
|
2Ti 1qi i ( i-1 ei-1 ) Ti 1 (1- i )qi |
i ))) |
||||||||||||||||||||||
Ai |
|
и |
Bi– |
|
матрицы, |
зависящие |
от |
|
конфигурации |
механизма |
в |
||||||||||||||
пространстве, а Сi – матрица, зависящая как от конфигурации, так и от скоростей.
Уравнения (5), (6) определяют кинематическую модель многозвенного механизма: