Лекции по моделированию Котов Назарова

Стр. 22. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

- элементарные статические и динамические линейные звенья

- нелинейное звено

Далее, выполняется кодирование схемы:

n1 - n5 – номера блоков

При программной обработке таблицы предполагается, что существует библиотека модулей, выполняющих расчет коэффициентов правых частей для элементарных линейных звеньев. Для нелинейных звеньев осуществляется запись, например, в виде x3=F(x4) тип F - зона насыщения.

В качестве примера перехода от структурной схемы к передаточной функции рассмотрим следующий алгоритм.

Предположим, что структурная схема имеет вид:

Входной язык для структурного кодирования должен задавать топологию (граф модели), алгоритм преобразования сигналов каждым

элементом.

Стр. 24. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Wx3 ? x1

Алгоритм:

1)Рассматривается связь по координате x1(s)

2)“1” соответствует удалению первой строки

3) Далее, алгоритм аналогичен предыдущему.

Вычисление определителей осуществляется по различным методам,

например, способам приведения функциональной матрицы к треугольному виду; но здесь кроме этого необходима работа с полиномами.

Но можно предложить и другой алгоритм:

Стр. 25. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

det aij ( p) b0 b1 p b1 p2 ... bm pm (*) i 1, 2,..., n

j 1, 2,..., n

Задавая “m+1” различных значений “p” и вычисляя значения определителя, получим “m+1” линейных уравнений относительно bi, i=0,1,...,m. Решив эти уравнения, получим коэффициенты полинома в (*)

С помощью матрицы W могут быть записаны уравнения в нормальной форме Коши, но уже не только для линейных систем.

Моделирование во времени динамических систем

Особенности моделирования динамических систем

Особенности моделирования динамических систем определяются общими проблемами численного решения интегро-дифференциальных и алгебраических уравнений: выбор метода; шага интегрирования; обеспечение устойчивости и точности решения и т.д.

Но существуют и проблемы, определяемые спецификой динамических систем рассматриваемого класса (РТС, их элементы, системы управления):

жесткость систем - большой разброс постоянных времени. Практика показывает, что явление жесткости в реальных сложных системах - скорее правило, чем исключение. Это способствовало развитию методов интегрирования жестких систем, к которым, прежде всего, относятся неявные методы.

В качестве иллюстрации жестких систем рассмотрим следующий пример:

Выходной сигнал выражается формулой:

Стр. 26. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

x(t) 1 C1e t C2e 104 t C2 C1

Решение практически определяется составляющей e-t, другая составляющая мала и быстро затухает. Несмотря на это, при интегрировании явным методом шаг следует выбирать порядка 10-4;

Наличие в моделях неоднозначных, разрывных и других характеристик, требующих специальных алгоритмов вычисления.

Например,

При исследовании подобной модели необходимо часто моделировать динамический процесс, схожий со скользящим режимом, характерным для такой системы в реальности, что при вычислениях приводит к дроблению шага и фактическому прекращению моделирования.

Необходимость моделирования по уравнениям состояния,

передаточным функциям и структурно-функциональным схемам. Сложность математического описания динамики РТС и их элементов, в частности,

многозвенных манипуляторов.

Численное решение дифференциальных уравнений.

Это получение последовательности векторов, аппроксимирующих истинное решение на временной сетке

i

ti t0 hj ,

j 1

Стр. 27. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

где hj – j-ый шаг интегрирования. Шаг интегрирования выбирается из заданной точности. Ошибка складывается из двух составляющих:

ε = εметод + εвычисл

определяется неточностью метода и уменьшается при уменьшении h, при h 0 εметод=Сhk, где С - const; k - порядок метода;

определяет, во скольких точках в пределах шага [ti; ti+1] вычисляются правые части уравнений при нахождении Xi+1. Например, методы второго порядка реализуются в две стадии с одной промежуточной точкой

ti +bh

ti ti+1

h

Стр. 28. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Неявные - интерполяционные:

xi 1 xi F (xi 1,ui 1,ti 1 ) . h

При реализации неявных методов необходимо на каждом шаге интегрирования решать систему алгебраических уравнений относительно

вектора xi+1, а это сопряжено с большими вычислительными затратами.

Если, например, рассматривается уравнение x Ax, x(0) x0 , то

простой метод Эйлера (явный и неявный) дает соответственно следующие решения:

Во втором случае необходимо обращение матрицы (E-hA), что вносит дополнительные вычислительные затраты. Для их уменьшения используются, в частности, методы линейной алгебры, оперирующие с разреженными матрицами.

Преимущества неявных методов с точки зрения устойчивости, могут быть проиллюстрированы на следующем простом примере:

Необходимо выполнить численное решение уравнения: x ax, (a 0; x(0) x0 )

Точное аналитическое решение:

x(t) x0e at

Если решать явным методом Эйлера, то

xi 1 xi axi ; xi 1 (1 ah)xi ; h

1 1 ah 1; 0 ah 2; h a2 .

При неявном:

Стр. 29. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Таким образом, второй подход является менее критичным по отношению к выбору шага интегрирования.

Методы интегрирования могут быть одношаговые и многошаговые;

последние используют информацию, полученную на предыдущих шагах интегрирования. Одношаговые - только с предыдущего. Многошаговые рекомендуется применять когда правые части представлены гладкими функциями и решение надо получить с высокой точностью. В других случаях - одношаговые.

Для выбора шага интегрирования можно использовать следующую процедуру. Интегрирование от точки ti до точки ti+1 = ti + hi выполняется

дважды: с шагом hi и hi/2, решения соответственно будут xˆi 1 и xi 1 .

Далее, вычисляется локальная ошибка

ошибки:

Стр. 30. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

(k - порядок метода).

Если:

Эта процедура контроля ошибки является наиболее универсальной,

поскольку применима к любому методу интегрирования, но требует дополнительных вычислительных затрат.

Моделирование систем по уравнениям состояния.

Сводится к численному решению дифференциальных уравнений:

Здесь огромное количество алгоритмов и программ, ориентированных именно на такую постановку задачи.

Например, метод Рунге-Кутта 2-го порядка:

β = 2 / 3

Моделирование линейных динамических систем по передаточным функциям.

Постановка задачи заключается в определении y(t) из условия: