Лекции по моделированию Котов Назарова

Стр. 11. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Структурно-функциональная модель - модель, включающая как

структурные, так и функциональные элементы.

В качестве примера структурно-

функциональной модели может быть рассмотрена ММ работа, состоящая из манипулятора (функциональная модель) и системы приводов (структурное представление).

Функциональная модель:

Основание

Стр. 12. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Взаимосвязь различных форм представления математических моделей

При разработке математических моделей (ММ) часто возникает необходимость перехода от одной формы математического представления систем к другой, в частности, эту задачу приходится решать при завершающей стадии, когда модель ограничивается рамками используемого программного обеспечения. Эта операция имеет свои особенности и ее успешное завершение требует определенных навыков.

Ранее было отмечено, что ММ динамических систем (в том числе РТС и их элементов) могут быть представлены уравнениями состояния,

передаточными функциями и в графо-аналитическом виде (структурно-

функциональные схемы).

Рассмотрим возможные случаи перехода от одной формы к другой.

ММ задана в виде уравнений состояния.

X F u, x, t Y f u, x,t

Для линейной системы:

X Ax Bu

Y Cx Du

Стр. 13. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Пример № 1.

F

(u- x1)

x1 x2 J F u x1 x2 Jc F u x2

y x1

На основании приведенных выше уравнений может быть составлена следующая структурная схема:

Это ММ упругой механической передачи, учитывающей диссипативные потери и силовой люфт.

u - угол поворота входного вала

x1 - угол поворота выходного вала (выходная координата)

Стр. 14. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Z - угол закрутки (упругая деформация)

В результате простых структурных преобразований получим:

что соответствует привычному представлению.

J - момент инерции

С - коэффициент упругости χ - коэффициент потерь на упругие деформации.

Пример № 2 (для линейных систем).

интегрирования, возможно решение и через операцию дифференцирования:

Стр. 15. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Но такой переход к структурной схеме не является желательным.

Операция “идеального” дифференцирования не может быть точно решена численными методами

/ f (t) f (t t) f (t) , t ? чтобы вычислить t неоходимо знать значение

t

f (t) в последующий момент времени./

/Точно так же не используется (и не реализуется) звено “чистого” дифференцирования в реальных САУ (пример с помехой)/.

Чтобы быстро и правильно перейти от уравнений состояния к структурной схеме, следует начинать с интеграторов, причем, их должно быть столько, каков порядок системы, и далее, в соответствии с уравнениями организовать необходимые связи. Элементы структурных схем следует выбирать такими, которые в используемом программном обеспечении реализуются более эффективными алгоритмами, например

k

Рассмотрим переход от описания линейной системы во временной области к описанию в частотной.

Необходимо определить матричную передаточную функцию W(s),

связывающую вектор u с вектором выхода Y в соответствии с уравнениями.

Стр. 16. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Из первого уравнения выразим Х и подставим во второе:

X=(Es-A)-1ВU

Y=[C(Es-A)-1В+D]U, Е - единичная матрица.

Выражение W(s)=C(Es-A)-1B+D и определяет матричную передаточную функцию.

Основная проблема ее вычисления заключается в необходимости обращения матрицы (Es-A). Для этой операции существует ряд алгоритмов,

один из которых (алгоритм Леверье) приведен ниже:

Es A 1 1 s R s ,

где

s sn an 1sn 1 ... a1s a0 ,

где n - порядок системы,

R s sn 1E sn 2 R1 ... Rn 1 , Ri n n

Коэффициенты характеристического полинома ai и матрицы Ri

вычисляются следующим образом:

an k 1k tr ARk 1 Rk ARk 1 an k E,

R0 E, k 1, 2,..., n

/*Проверка правильности вычислений R0≡0./

В некоторых случаях эту задачу можно решить более простыми методами, например,

и подставим в первое, выполнив предварительно преобразование Лапласа для каждого из уравнений.

Стр. 17. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

x2 s s 1a22 a21 (x1 s b2u s

s2 a22 a11 s a11a22 a12a22 x1 s s b1 a12b2 a22b1 u s

W(s) - скалярная величина, т.к. в системе один вход и один выход/

ММзадана в виде передаточной функции.

Вслучае, если рассматривается ММ с несколькими входами и несколькими выходами (многосвязная система), в основе перехода от описания системы в частотной области к ее описанию во временной лежит задача нахождения матриц А, В, С, D по известной матричной передаточной функции W(s). Но решение этой задачи не является однозначным.

Действительно, если рассмотреть матрицы A, B, C, D, определяемые следующим образом:

A QAQ 1;

BQB;

CCQ 1;

D D;

где Q(nxn) – произвольная невырожденная матрица;

то

C Es A 1 B D CQ 1 QQ 1s QAQ 1 1 QB D

CQ 1 Q Es A Q 1 1 QB D CQ 1QEs A 1Q 1QB D

C Es A 1 B D

(Здесь использовано правило обращения произведения матриц:

A1A2...Ak -1 A-k1A-k1-1...A1-1 )

Стр. 18. Моделирование и исследование робототехнических систем. Авторы: Котов Е.А., Назарова А.В.

Таким образом получено точно такое же выражение для W(s), но

матрицы определяют уже другую математическую модель.

Матрицы А, В, С, D должны определяться из условия реализации W(s)

наименьшего возможного порядка, что означает исключение одинаковых пулей и полюсов из элементов W(s).

На практике часто переход от передаточной функции к записи уравнений во временной области сводится к задаче с одним входом и одним выходом

U W s X

n m

Если имеются одинаковые корни числителя и знаменателя, то порядки

(n; m) понижаются.

Дифференциальное уравнение “n”-ой степени имеет вид: