Вторая теорема двойственности: используется в анализе
Большой практический интерес представляет экономическая интерпретация второй теоремы двойственности, а также ее следствия о дополняющей нежесткости.
1.
Если суммарная оценка
i-го
ресурса положительна
то этот ресурс в соответствии с оптимальным планом х* используется полностью
2. Если i-й ресурс используется не полностью
то его оптимальная
оценка нулевая
и i-е ограничение несущественно.
3. Если в соответствии с оптимальным планом х* j-я продукция производится
то это производство эффективно, так как цена единицы j-й продукции
равна затратам на ее производство в единицах
4. Если производство j-й продукции убыточно (приведенные издержки ненулевые
то в соответствии с оптимальным планом эта продукция не производится
Пример
-
Производство сумок включает следующие этапы:
-
Кройка и окраска материала.
-
Шитье.
-
Финишная отделка.
-
Контроль и упаковка.
-
-
Руководитель производственного участка определил затраты времени (в часах) на каждую операцию по обоим видам сумок.
-
Финансовая группа определила, что с учетом всех издержек одна стандартная сумка даст 10 долларов прибыли, а одна улучшенная – 9 долларов.
-
Руководитель производственного участка установил, что с учетом имеющихся людей и оборудования в течение трех месяцев производственные возможности будут составлять 630 ч на кройку и окрашивание, 600 ч на шитье, 708 ч на финишную отделку и 135 ч на контроль и упаковку.
Затраты времени на операции
|
Продукт |
Кройка и окраска |
Шитье |
Финишная отделка |
Контроль и упаковка |
|
Стандартная сумка |
7/10 |
1/2 |
1 |
1/10 |
|
Улучшенная сумка |
1 |
5/6 |
2/3 |
1/4 |
Двойственная задача линейного программирования.
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 10x1 + 9x2 при следующих условиях-ограничений.
7/10x1 + x2≤630
1/2x1 + 5/6x2≤600
x1 + 2/3x2≤708
1/10x1 + 1/4x2≤135
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6.
7/10x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 = 630
1/2x1 + 5/6x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 600
1x1 + 2/3x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 708
1/10x1 + 1/4x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 135
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных: дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Задача
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
|
x2 |
252 |
0 |
1 |
15/8 |
0 |
-21/16 |
0 |
|
x4 |
120 |
0 |
0 |
-15/16 |
1 |
5/32 |
0 |
|
x1 |
540 |
1 |
0 |
-5/4 |
0 |
15/8 |
0 |
|
x6 |
18 |
0 |
0 |
-11/32 |
0 |
9/64 |
1 |
|
F(X3) |
7668 |
0 |
0 |
35/8 |
0 |
111/16 |
0 |
Оптимальный план можно записать так:
x2 = 252
x1 = 540
F(X) = 9•252 + 10•540 = 7668
x3, x4, x5, x6 - излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Анализ оптимального плана.
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x4. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 2-го вида в количестве 120
В оптимальный план вошла дополнительная переменная x6. Следовательно, при реализации такого плана имеются недоиспользованные ресурсы 4-го вида в количестве 18
Значение 0 в столбце x1 означает, что использование x1 - выгодно.
Значение 0 в столбце x2 означает, что использование x2 - выгодно.
Значение 43/8 в столбце x3 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 43/8.
Значение 615/16 в столбце x5 означает, что теневая цена (двойственная оценка) равна 615/16.