2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

4.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Уравнение F(x, y, y′,…, y(n)) = 0, связывающее между собой неза- висимую переменную х, искомую функцию у (х) и ее первые n про-

изводные y′ ( x ), …, y(n)(x) называется дифференциальным уравнением

n-го порядка.

Если уравнение F(x, y, y′,…, y(n)) = 0 можно записать в виде y(n) = f(x, y, y′,…, y(n–1)), то говорят, что оно разрешимо относительно производной.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интер- вале (a, b) является такая функция у = у(х), n раз дифференцируемая на (а, b), которая при подстановке в данное уравнение обращает его в истинное на интервале (a, b) тождество.

Задачей Коши называется задача нахождения решения у = у(х), для дифференциального уравнения F(x, y, y′,…, y(n)) = 0, удовлетво- ряющего начальным условиям

Теорема существования и единственности

Если дифференциальное уравнение y(n) = f(x, y, y′,…, y(n–1)) таково, что функция f(x, y, y′,…, y(n–1)) в некоторой области D изменения сво- их аргументов непрерывна по всем аргументам x, y, y′, …, y(n−1) и

то для любой точки (x0, y0 ,y0′, …, y0(n−1)) D существует такой интер- вал x0 – h < x < x0 + h, на котором существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка на- зывается такая функция y = y(x, c1, c2,…, cn ), которая при любых до- пустимых значениях параметров c1, c2,…, cn является решением этого дифференциального уравнения и такая, что для любой задачи Коши найдутся постоянные c1, c2,…, cn, определяемые из системы уравне- ний

61

Всякое решение, полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных c1, c2,…, cn, называют частным решением это- го уравнения.

Уравнение вида Ф(х, у, c1, c2,…, cn) = 0, определяющее общее ре- шение y = y(x, c1, c2,…, cn), как неявную функцию, называют общим интегралом дифференциального уравнения n-го порядка.

Для дифференциального уравнения второго порядка задача Коши состоит в нахождении решения у = у (х), для дифференциального уравнения F(x, y, y′, y'') = 0, удовлетворяющего начальным условиям

Геометрически это равносильно следующему. Требуется найти интегральную кривую уравнения F(х, у, у', y'') = 0, проходящую через точку M0(x0,y0), угловой коэффициент касательной к которой в этой точке равен у'0.

62

5. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

В некоторых частных случаях удается понизить порядок уравне- ния. Рассмотрим наиболее типичные случаи.

1. Уравнения вида

y(n) = f (x)

решают n-кратным интегрированием функции f(x):

y(n−1) = ∫ f (x)dx + c1,

y(n− 2) = ∫ (∫ f (x)dx)dx + c1x + c2 и т.д.

2. Уравнения вида

F(x, y(k),…, y(n)) = 0

в явном виде не содержат искомую функцию у и ее производные до (k – 1)-го порядка включительно.

С помощью замены у(к) = р(х) понижаем порядок уравнения на k единиц. Затем исходную функцию у(х) получаем k-кратным интегри- рованием найденной функции р(х).

3. Уравнения вида

F(y, y′,…, y(n)) = 0

не содержат в явном виде независимую переменную х. Порядок этого уравнения можно понизить на одну единицу заменой y′ = p(y). За но- вый аргумент принимаем у, тогда y′, y'′, …, y(n) находят по правилу дифференцирования сложной функции:

Заметим, что при решении задачи Коши для уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка, определять значения постоянных сi удобнее в процессе решения, а не после нахождения общего решения уравнения. Это связано с тем, что интегрирование может значительно упроститься, когда постоянные сi принимают чи- словые значения.

63

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным

уравнения и в производные:

64

Получили решение уравнения, удовлетворяющее заданным на- чальным условиям:

y = 1 x4 + 1 cos 2x + 1 x2 . 48 32 8

Пример 5.2. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния 2xy′′′y′′ = y′′2 − a2 .

Решение

Данное уравнение не содержит в явном виде искомую функцию у и ее первую производную y'.

Сделаем замену y'' = p(x), тогда y''' = p'(x). Подставим их в исход- ное уравнение:

2xp′p = p2 − a2 .

Получили уравнение первого порядка с разделяющимися пере-

менными. Представим p′ = dp . Тогда dx

2xp dp = p2 − a2 . dx

Умножим обе части уравнения на dx:

2xpdp = ( p2 − a2 )dx.

65

Разделим обе части уравнения на x(p2 – a2), при этом можем поте- рять решения p = ±a:

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

∫ dxx = ln x + c.

Тогда

ln p2 − a2 = ln x + ln c1; p2 − a2 = c1x.

Заметим, что решение p = ±a содержится в общем интеграле при с1 = 0. Выразим p из общего интеграла:

p = ± c1x + a2 .

Подставим y'' = p(x):

y′′ = ± c1x + a2 .

Тогда

66

Итак, общее решение данного уравнения:

Пример 5.3. Решить задачу Коши:

(1+ x2 ) y′′ − 2xy′ = (1+ x2 )2 ex , y(0) = 0 и y'(0) = 3.

Решение

Данное уравнение не содержит в явном виде искомую функцию у. Сделаем замену y' = p(x), тогда y'' = p'(x). Подставим в исходное уравнение:

(1+ x2 ) p′ − 2xp = (1+ x2 )2 ex .

Получили линейное неоднородное уравнение первого порядка. Рассмотрим однородное уравнение

(1+ x2 ) p′ − 2xp = 0,

соответствующее данному неоднородному уравнению. Подставим

p′ = dp : dx

(1+ x2 ) dpdx = 2xp.

Умножим обе части уравнения на dx:

(1+ x2 )dp = 2xpdx .

67

Разделим обе части уравнения на (1 + x2)p:

dp = 2xdx p 1+ x2 .

Интегрируем обе части полученного уравнения:

Тогда

ln p = ln 1+ x2 + ln c1 ; p = c1 (1+ x2 ).

Получили общее решение однородного уравнения pо.о = c1 (1+ x2 ) .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

pч.н. = c(x)(1+ x2 )

Тогда

(1+ x2 )(c′(x)(1+ x2 ) + 2xc(x))− 2xc(x)(1+ x2 ) = (1+ x2 )2 ex ; c′(x)(1+ x2 )2 + 2xc(x)(1+ x2 ) − 2xc(x)(1+ x2 ) = (1+ x2 )2 ex ; c′(x)(1+ x2 )2 = (1+ x2 )2 ex ;