Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

.pdf

Скачиваний:

346

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Решим данную систему относительно X(p) и Y(p) с помощью формул Крамера:

X ( p) = det A1 ; Y ( p) = det A2 , det A det A

где det A – определитель матрицы А;

det A1 – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой первого столбца на столбец свободных членов;

det A2 – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой второго столбца на столбец свободных членов.

Найдем определители detA, detA1 и detA2:

p − 5

det A =

= ( p − 5)( p − 1) + 3 = p2 − 5 p − p + 5 + 3 =

−1

p −

= p2 − 6 p + 8 = ( p − 4)( p − 2);

p − 1

( p − 1)2

( p2 − 2 p + 1)( p + 1) − 15( p − 3)

det A1

p − 3

−

p − 3

p +

p − 1

( p − 3)( p + 1)

p + 1

p3 − 2 p2 + p + p2 − 2 p + 1− 15 p + 45

p3 − p2 − 16 p + 46

;

( p − 3)( p + 1)

p − 5

p − 1

5( p − 5)

5( p − 5)( p − 3) + ( p − 1)( p + 1)

det A2

p − 3

p − 1

−1

p + 1

p − 3

( p + 1)( p − 3)

p + 1

( p2

− 5

p − 3p + 15) + p2 − 1

6 p2 − 40 p + 74

( p + 1)( p − 3)

Тогда получим решение системы операторных уравнений

X ( p) =

det A1

p3 − p2 − 16 p + 46

;

det A

( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2)

Y ( p) =

det A2

6 p2 − 40 p + 74

det A

( p + 1)( p − 3)( p − 4)( p − 2)

201

Разложим дробь

p3 − p2 − 16 p + 46

на сумму простейших

( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2)

дробей методом неопределенных коэффициентов:

p3 − p2 − 16 p + 46

( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2)

p − 4

p −

p − 3 p + 1

=	A( p + 1)( p − 4)( p − 2) + B ( p − 3)( p − 4)( p − 2) +
	( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2)

C ( p − 3)( p + 1)( p − 2) + D( p − 3)( p + 1)( p − 4) + ( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2) .

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A, B, С и D:

A( p + 1)( p − 4)( p − 2) + B( p − 3)( p − 4)( p − 2) + C ( p − 3)( p + 1)( p − 2) + + D( p − 3)( p + 1)( p − 4) = p3 − p2 − 16 p + 46 .

Подставим p = −1:

B(−4)(−5)(−3) = −1− 1+ 16 + 46;

−60B = 60 B = −1.

Подставим p = 4:

C 5 2 = 64 − 16 − 64 + 46;

10C = 30 C = 3.

Подставим p = 2:

D(−1) 3(−2) = 8 − 4 − 32 + 46;

6D = 18 D = 3.

Подставим p = 3:

A 4(−1) = 27 − 9 − 48 + 46;

−4A = 16 A = −4.

Тогда

p3 − p2 − 16 p + 46	4		1		3		3
	= −		−		+		+		.
( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2)		p − 3		p + 1		p − 4		p − 2

202

Разложим дробь

6 p2 − 40 p + 74

. на сумму простей-

( p + 1)( p − 3)( p − 4)( p − 2)

ших дробей методом неопределенных коэффициентов.

6 p2 − 40 p + 74

= A

+ C

+ D

( p + 1)( p − 3)( p − 4)( p − 2)

p − 3

+ 1

p − 4

p −

=	A( p + 1)( p − 4)( p − 2) + B ( p − 3)( p − 4)( p − 2) +
	( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2)

C ( p − 3)( p + 1)( p − 2) + D( p − 3)( p + 1)( p − 4) + ( p − 3)( p + 1)( p − 4)( p − 2) .

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A, B, С и D:

A( p + 1)( p − 4)( p − 2) + B( p − 3)( p − 4)( p − 2) + C ( p − 3)( p + 1)( p − 2) + + D( p − 3)( p + 1)( p − 4) = 6 p2 − 40 p + 74 .

Подставим p = −1:

B(−4)(−5)(−3) = 6 + 40 + 74;

−60B = 120 B = −2.

Подставим p = 4:

C 5 2 = 6 16 − 160 + 74;

10C = 10 C = 1.

Подставим p = 2:

D(−1) 3(−2) = 24 − 80 + 74;

6D = 18 D = 3.

Подставим p = 3:

A 4(−1) = 54 − 120 + 74;

−4A = 8 A = −2.

Тогда

6 p2 − 40 p + 74	2		2		1		3
	= −		−		+		+		.
( p + 1)( p − 3)( p − 4)( p − 2)		p − 3		p + 1		p − 4		p − 2

203

Следовательно,

X ( p) = −

−

;

p − 3 p + 1 p − 4 p − 2

Y ( p) = −

−

p −

3 p + 1 p −

4 p −

По таблице оригиналов и изображений найдем оригиналы для

X(p) и Y(p):

X( p) = −4e3t

Y( p) = −2e3t

−e−t + 3e4t + 3e2t ;

−2e−t + e4t + 3e2t .

Тогда решение задачи Коши

x(t) = −4e3t − e−t + 3e4t + 3e2t ,

= − 3t − −t + 4t + 2t

y(t) 2e 2e e 3e .

Пример 16.11. Решить задачу Коши системы дифференциаль-

	dx		= 2x − y + z,

dt
ных уравнений:	dy		= x + z,	x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0.

dt
	dz	= −3x + y − 2z,

dt
Решение
Пусть
			x(t) = X ( p) ;


			y(t) = Y ( p) ;

z(t) = Z ( p)

Тогда по правилу дифференцирования оригиналов

x′(t) =

y′(t) =

z′(t)

pX ( p) − x(0) = pX ( p) − 1; pY ( p) − y(0) = pY ( p) − 1;

= pZ ( p) − z(0) = pZ ( p).

Переходя к операторной системе, получаем

204

pX ( p) − 1 = 2X ( p) − Y ( p) + Z ( p),		( p − 2)X ( p) + Y ( p) − Z ( p) = 1,
pY ( p) − 1 = X ( p) + Z ( p),	− X ( p) + pY ( p) − Z ( p) = 1,
pZ ( p) = −3X ( p) + Y ( p) − 2Z ( p)		3X ( p) − Y ( p) + ( p + 2)Z ( p) = 0.
Запишем матрицу системы:
p − 2	1	−1
A = −1	p	−1	.
3	−1	p + 2

Решим данную систему относительно X(p), Y(p) и Z(p) с помощью формул Крамера:

X ( p) = det A1 ; Y ( p) = det A2 ; Z ( p) = det A3 , det A det A det A

где det A – определитель матрицы А;

det A2 – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой второго столбца на столбец свободных членов;

det A3 – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

Найдем определители det A, det A1, det A2 и det A3, разложив их по элементам первой строки:

p − 2

−1

−1 p

det A =

−1

= ( p − 2)

−

−1

p + 2

−1 p + 2

3 p + 2

3 −1

= ( p − 2)( p2 + 2 p − 1) − (− p − 2 + 3) − (1− 3p) = p3 + 2 p2 − p − 2 p2 −

−4 p + 2 + p − 1− 1+ 3p = p3 − p;

−1

det A1 =

−1

−

−1

p + 2

−1

p + 2

= p2 + 2 p − 1− p − 2 + 1 = p2 + p − 2;

205

p − 2

−1

det A2 =

−1

= ( p − 2)

−

p + 2

0 p + 2

p + 2

= p2 − 4 + p + 2 − 3 + 3 = p2 + p − 2;

p − 2

−1

det A3 =

−1

= ( p − 2)

−

−1

= p − 2 + 3 + 1− 3p = 2 − 2 p.

Тогда получим решение системы операторных уравнений

X ( p) =

det A1

p2 + p − 2

( p − 1)( p + 2)

p + 2

;

det A

p( p − 1)( p + 1)

p3 − p

p( p + 1)

Y ( p) =

det A2

p2 + p − 2

p + 2

;

det A

p3 − p

p( p + 1)

Z ( p) =

det A3

2 − 2 p

−2( p − 1)

−2

det A

p3 − p

p( p − 1)( p + 1)

p( p +

p + 2

Разложим дробь на сумму простейших дробей методом p( p + 1)

неопределенных коэффициентов:

p + 2	=	A	+	B	=	A( p + 1) + Bp
p( p + 1)		p		p + 1		p( p + 1)

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A и B:

A( p + 1) + Bp = p + 2 .

Подставим p = −1:

−B = 1 B = −1.

Подставим p = 0:

А = 2.

206

Тогда

p + 2	=	2	−	1	.
p( p + 1)
		p		p + 1

−2

Разложим дробь на сумму простейших дробей методом p( p + 1)

неопределенных коэффициентов:

−2	=	A	+	B	=	A( p + 1) + Bp	.
p( p + 1)
		p p + 1				p( p + 1)

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A и B:

A( p + 1) + Bp = −2 .

Подставим p = −1:

−B = −2 B = 2.

Подставим p = 0:

А = –2.

Тогда

−2

= −

p( p + 1)

p +

Следовательно,

X ( p) =

−

;

p + 1

Y ( p) =

−

;

p p + 1

Z ( p) = −

p + 1

По таблице оригиналов и изображений найдем оригиналы для

X(p), Y(p) и Z(p):

X ( p) = 2 − e−t ;

207

		− e		−t		;

Y ( p) = 2
						−t
		+ 2e .
Z ( p) = −2		+ 2e .
Тогда решение задачи Коши
	− e		−t		,
x(t) = 2	− e				,
y(t) = 2 − e−t ,

z(t) = −2 + 2e−t .

208

17. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ (ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ) МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Постановка задачи для уравнения диффузии (теплопроводности)

Задача о распространении тепла в тонком однородном стержне длины l (0 ≤ x ≤ l), боковая поверхность которого теплоизолирована, и задача о диффузии вещества в трубке длиной l сводятся к решению уравнения с частными производными вида

∂u = a2 ∂2u + f (x,t ) ,

∂t ∂x2

которое называется уравнением диффузии (теплопроводности).

Уравнение диффузии (теплопроводности) имеет бесконечно мно- го решений. Чтобы получить единственное решение, задают допол- нительные условия – начальное и граничные условия на границе об- ласти. Начальное условие задается в виде u(x, 0) = ϕ(x), 0 < x < l .

Граничные условия бывают различные. Будем рассматривать че- тыре основных типа граничных условий при t [0, ∞):

	u(0,		t) = α(t),
1	тип: − u(l,		t) = β(t);
	∂u
2	тип:– ∂x (0, t) = α(t),

	u(l, t) = β(t);
	u(0, t) = α(t),
3	тип: −	∂u (l, t) = β(t);
		∂u (l, t) = β(t);
		∂x
		∂u
		(0, t) = α(t),
4	тип: −	∂x
		∂u
		(l, t) = β(t).
		∂x

Задача нахождения решения уравнения диффузии (теплопровод- ности), удовлетворяющего начальному условию и граничным усло-

209

виям 1–4 типов, называется смешанной задачей для уравнения диф- фузии (теплопроводности).

Классическим решением смешанной задачи для уравнения диффузии (теплопроводности) называется функция u(x, t), непрерывная вместе с

первой производной по х в полуполосе U = {(x, t )/ 0 ≤ x ≤ l, 0 < t < ∞} ,

имеющая непрерывные производные первого порядка по переменной t и второго порядка по переменной x в области U и удовлетворяющая в этой области уравнению диффузии, начальному условию и одному из граничных условий 1–4 типов.

Решение уравнения диффузии (теплопроводности)

1. Приведем задачу к нулевым граничным условиям. Для этого функцию u(x, t) ищем в виде

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),

где функцию w(x, t) подбираем так, чтобы граничные условия для функции v(x, t) стали нулевыми.

При наличии граничных условий 1, 2 и 3 типов функцию w(x, t) ищем в виде

w(x, t) = A(t)x + B(t),

где A(t) и B(t) – неизвестные функции переменной t.

При наличии граничных условий 4 типа функцию w(x, t) ищем в виде

w(x,t) = A(t)x2 + B(t)x ,

где A(t) и B(t) – неизвестные функции переменной t.

2. Запишем смешанную задачу для функции v(x, t). Так как

u(x, t) = v(x, t) + w(x, t),

то

∂u (x, t ) =		∂v (x, t) + ∂w (x, t);
∂t		∂t		∂t
∂2u	(x, t) =	∂2v	(x, t) +	∂2 w	(x, t).
∂x2		∂x2		∂x2

Следовательно, уравнение ∂u = a2 ∂2u + f (x, t ) примет вид

∂t ∂x2

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025964 Кб62-3-Курс лекций-ЭЭ и ОВОС.doc
#
01.07.202533 Кб12. Имидж вожатого. ЕПТ.docx
#
20.04.201532 Кб382. Классификация материалов.doc
#
27.09.201947 Кб1120-24.doc
#
23.03.20165 Мб1032004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb.pdf
#
23.03.20163 Мб3462006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb.pdf
#
01.07.2025529 Кб62011-12-20-11-21-45.doc
#
13.09.201965 Кб182012-Вопросы по теоретической механике.doc
#
01.05.2025419 Кб32013-07-18_Uchebnik_dlya_marshalov.docx
#
01.05.2025955 Кб32014_Билеты для госэкзамена.doc
#
01.07.202545 Кб22014L2.docx