Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

.pdf

Скачиваний:

346

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

При с1 = 0 и с2 = 0 получим частное решение неоднородного урав- нения

yч.н	= (arctg ex − ex )e−3x +	1	e−2 x ln (1+ e2 x ) .

	2

Так как у = уо.о + уч.н, то общее решение исходного неоднородного уравнения

y = c1e−3x + c2e−2 x + e−3x arctg ex − e−2 x +	1	e−2 x ln(e2 x + 1) .
y = c1e−3x + c2e−2 x + e−3x arctg ex − e−2 x +		e−2 x ln(e2 x + 1) .
2
Пример 11.3. Найти общее решение уравнения y′′ + 7 y′ =			7	.

			1+ e7 x

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y′′ + 7y′ = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 7k = 0; k1 = 0, k2 = −7.

Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения

yo.o = c1 + c2e−7 x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

yч.н = c1 (x) + c2 (x)e−7 x .

Функции c1(x) и c2(x) найдем из системы уравнений

c′(1c′(1

c′

(x)e−7 x

c′(x)

= −

c′

(x)e−7 x ,

+ 2

x)(1)′ + c′

(x)(e−7 x )′ =

−7c′

(x)e−7 x =

7 x

1+ e

c′(x) = −c′

(x)e−7 x ,

c′(x) =

7 x

1+ e

7 x

e7 x

c′

(x) = −

c′

(x) = −

+ e

7 x

1+ e

7 x

121

Тогда

e7 x dx

e7 x + 1 = t,

c2 (x) = −∫

7e7 x dx = dt,

= −

∫

= −

+ c2

+ e

7 x

e7 x dx =

= −

ln (e7 x + 1) + c2 ;

e7 x = t,

(x) = ∫

7e7 x dx = dt,

= ∫

∫

7 x

t(t + 1)

+ e

7t(1+ t) 7

dx =

7e7 x

∫

−

dt =

−

+ 1

+ c1 =

t +

e7 x

−

ln (e7 x + 1) + c1 = x −

ln (e7 x + 1) + c1.

При с1 = 0 и с2 = 0 получим частное решение неоднородного урав- нения

yч.н = x − 17 ln (e7 x + 1) − 17 e−7 x ln (e7 x + 1).

Так как у = уо.о + уч.н., то общее решение исходного неоднородного уравнения

y = c1 + c2e−7 x + x − 17 ln (e7 x + 1) − 17 e−7 x ln (e7 x + 1).

Пример 11.4. Найти общее решение уравнения

y′′ + 2 y′ + 5y = e− x . sin 2x

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y′′ + 2y′ + 5y = 0.

122

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 2k + 5 = 0;

D = 4 – 20 = −16;

k1,2 = −2 ± −16 = −1± 2i. 2

Корни комплексные сопряженные кратности 1, где α = −1, β =2. Тогда общее решение однородного уравнения

yo.o = e− x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) ; yo.o = c1e− x cos 2x + c2e− x sin 2x .

yч.н

= c1 (x)e− x cos 2x + c2 (x)e− x sin 2x .

Функции c1(x) и c2(x) найдем из системы уравнений

c′(x)e− x

cos 2x

c′ (x)e− x sin 2x

− x

c1′(x)(e− x cos 2x)′ + c2′ (x)(e− x sin 2x)′ =

sin 2x

c′(x)e− x cos 2x + c′ (x)e− x sin 2x

= 0,

c1′(x)(−e− x cos 2x − 2e− x sin 2x) + c2′ (x)(−e− x sin 2x + 2e− x cos 2x) =

e− x

sin 2x

Разделим первое и второе уравнения системы на e−x, а затем ко второму уравнению прибавим первое:

	1	+	2		=	0,
c′(x)cos 2x			c′ (x)sin 2x			0,
c′(x)(− cos 2x − 2sin 2x)					+ c′		(x)(− sin 2x + 2cos 2x) =				1
											1

	1					2					sin 2x
											sin 2x
			1	+		2	(x)sin 2x	=	0,
		c′(x)cos 2x			c′		(x)sin 2x		0,
			−2c′(x)sin 2x +				2c′ (x)cos 2x =			1


			1				2			sin 2x
										sin 2x

123

c′(x)

= −

c′

(x)sin 2x

cos 2x

2c′ (x)sin2

2c′ (x)cos 2x

cos 2x

sin 2x

c′(x)

= −

c′ (x)sin 2x

cos 2x

2c′

(x)sin2 2x

2c′ (x)cos2 2x

cos 2x

sin 2x

c′(x)

= −

c′

(x)sin 2x

cos 2x

2c′ (x)(sin2 2x

cos2

2x)

cos 2x

sin 2x

c′(x)

c′

(x)sin 2x

c′

cos 2x

sin 2x

(x)

= −

cos 2x

2sin 2x cos 2x

2c′

(x)

c′

cos 2x

(x)

sin 2x

2sin 2x

cos 2x

c′

(x)

= −

cos 2x

c′

(x)

2sin 2x

Тогда

cos 2x dx

sin 2x = t,

c2 (x) = ∫

2cos 2xdx = dt,

∫

2sin 2x

cos 2xdx =

+ c2

sin 2x

+ c2 ;

c1 (x) = −

∫dx = −

x + c1.

При с1 = 0 и с2 = 0 получим частное решение неоднородного урав- нения

124

yч.н	= −	1	xe− x cos 2x +				1	e− x sin 2x ln				sin 2x		;


	2				1		4		1
yч.н	= e− x			−		x cos 2x +				sin 2x ln	sin 2x		.


				2			4

Так как у = уо.о + уч.н, то общее решение исходного неоднородного уравнения

y = e− x (c1 cos 2x + c2 sin 2x) + e− x	−	1	x cos 2x +	1	sin 2x ln	sin 2x	.


	2		4

Пример 11.5. Решить задачу Коши: y′′– 6y′ + 8y = 8x2 + 4x − 2, y(0) = 0 и y'(0) = 1.

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y′′– 6y′ + 8y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 − 6k + 8 = 0; D = 36 − 32 = 4; k1 = 4, k2 = 2.

Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения

yo.o = c1e4 x + c2e2 x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом не- определенных коэффициентов.

Так как f (x) = 8x2 + 4x − 2 = e0 (8x2 + 4x − 2), где λ = 0 не является

корнем характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде многочлена второй степени с неопределенными коэф- фициентами:

yч.н = Ax2 + Bx + C.

Найдем производные:

y′ = 2Ax + B;

ч.н

y′′ = 2A.

ч.н

125

Подставим yч.н , yч′.н и yч′′.н в исходное уравнение:

2A − 6(2Ax + B) + 8(Ax2 + Bx + C) = 8x2 + 4x − 2; 2A − 12Ax − 6B + 8Ax2 + 8Bx + 8C = 8x2 + 4x − 2.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и

правой частях уравнения, получим систему уравнений:
8A = 8,

−12A + 8B = 4,

2A − 6B + 8C = −2.
Решим полученную систему:
A = 1,	A = 1,	A = 1,

−12 + 8B = 4,	8B = 16,	B = 2,

2 − 6B + 8C = −2	−6B + 8C = −4	C = 1.

Тогда частное решение неоднородного уравнения

уч.н = x2 + 2x + 1 .

Так как у = уо.о + уч.н , то общее решение неоднородного уравнения

y = c1e4 x + c2e2 x + x2 + 2x + 1 .

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0) = 0 и y'(0) = 1. Вычислим производную:

y′ = 4c1e4 x + 2c2e2 x + 2x + 2 .

Подставив x = 0, y = 0 и y' = 1 в общее решение уравнения и в най- денную производную, получим следующую систему:

0 = c1 + c2 + 1,			c2 = −c1 − 1,
	= 4c1	+ 2c2 + 2
1	= 4c1	+ 2c2 + 2	1 = 4c1 − 2c1 − 2 + 2
					= −		1	− 1	= −	3	,
	c2 = −c1 − 1,			c2
				c2			2			2
							2			2
		= 2c1
	1	= 2c1			=	1	.
				c1
				c1		2
						2

126

Тогда решение задачи Коши

y= 1 e4 x − 3 e2 x + x2 + 2x + 1 .

2 2

Пример 11.6. Решить задачу Коши: y′′+ 3y′ + 2y = e−2x(−5x2 + 7x + 2), y(0) = 2 и y'(0) = 7.

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y′′ + 3y′ + 2y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 3k + 2 = 0; k1 = −2, k2 = −1.

Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения

yо.о = c1e−2 x + c2e− x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом не- определенных коэффициентов.

Так как f (x) = e−2 x (−5x2 + 7x + 2), где λ = −2 является корнем ха-

рактеристического уравнения кратности 1, то решение будем искать в виде

yч.н = e−2 x (Ax2 + Bx + C)x = e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx).

Найдем производные:

y′ = −2e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx) + e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C);

ч.н

y′′ = 4e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx) − 2e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C) −

ч.н

−2e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C) + e−2 x (6Ax + 2B) =

= 4e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx) − 4e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C) + e−2 x (6Ax + 2B).

Подставим yч.н , yч.н′ и yч.н′′ в исходное уравнение:

4e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx) − 4e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C) + e−2 x (6Ax + 2B) + +3(−2e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx) + e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C)) +

+2e−2 x (Ax3 + Bx2 + Cx) = e−2 x (−5x2 + 7x + 2).

127

После приведения подобных слагаемых получим

−e−2 x (3Ax2 + 2Bx + C) + e−2 x (6Ax + 2B) = e−2 x (−5x2 + 7x + 2).

Разделим левую и правую части тождества на e−2x:

−3Ax2 − 2Bx − C + 6Ax + 2B = −5x2 + 7x + 2.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения, получим систему

		5				5
	A =		,		A =		,
−3A = −5,	A =	3	,		A =	3	,
		3				3
				5		3
				5		3
6A − 2B = 7,	−2B = 7 − 6				, B =			,
6A − 2B = 7,	−2B = 7 − 6			3	, B =	2		,
				3		2
2B − C = 2	C = 2B − 2				C = 1.

Тогда частное решение неоднородного уравнения

yч.н = e−2 x (5 x3 + 3 x2 + x). 3 2

Так как у = уо.о + уч.н , то общее решение неоднородного уравнения

y = с1e−2 x + с2e− x + e−2 x 5 x3 + 3 x2 + x .
3	2

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Вычислим производную:

y′

= −

2c e−2 x

−

c e− x

−

2e−2 x

5x3

3x2

e−2 x (5x2

1).

Подставив x = 0, y = 2 и y' = 7 в общее решение уравнения и в най- денную производную, получим следующую систему:

= −2c1e

− c2e

−

0 + e

= −2c1

− c2

+ 1,

= c1e0 + c2e0 + e0 0

= c1 + c2

6 = −2c1 − c2 ,

8 = −c1

c1 = −8,

+ c2

= 10.

2 = c1

= c1 + c2

128

Итак, решение задачи Коши

y = −8e−2 x + 10e− x + e−2 x 5 x3 + 3 x2 + x .
3	2

Пример 11.7. Найти общее решение уравнения y′′+ 4y′ + 4y = 7e−2x sin 7x + e−2x(28x + 14) cos7x.

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y′′+ 4y′ + 4y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 4k + 4 = 0; (k + 2)2 = 0; k1 = k2 = −2.

Так как корни действительные совпадающие, то общее решение однородного уравнения

yo.o = (c1 + c2 x)e−2 x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Рассмотрим два способа нахождения частного решения.

1 способ

Решение будем искать методом вариации произвольной постоян- ной в виде

yч.н = c1 (x)e−2 x + c2 (x)xe−2 x ,

где c1(x) и c2(x) – неизвестные функции переменной x, которые най- дем из системы уравнений

c′(x)e−2 x

c′

(x)xe−2 x

c′

(x)(xe−2 x )′

7e−2 x sin 7x

e−2 x (28x

c′(x)(e−2 x )′

14)cos 7x

c′(x)e−2 x

c′ (x)xe−2 x

2xe−2 x )

7e−2 x

sin 7x

e−2 x (28x

14)cos 7x.

2c′(x)e−2 x

c′ (x)(e−2 x

−

Ко второму уравнению прибавим первое, предварительно умно- женное на 2:

129

cos7xdx, v =


c′	(x)e−2 x	+	c′	(x)xe−2 x	=		0,
1	(x)e−2 x	+	2		=			e−2 x (28x		14)cos7x.
c′	(x)e−2 x	=	7e−2 x sin 7x			+		e−2 x (28x	+	14)cos7x.
2		=				+			+

Разделим первое и второе уравнения на e−2x:

(x)x

= −

c′(x)

c′

c′(x)

c′ (x)x,

7sin 7x

(28x

14)cos7x

7sin 7x

(28x

14)cos7x

c′ (x)

= −

−

x(28x

14)cos7x,

c′(x)

7xsin 7x

(x)

7sin 7x

(28x

14)cos7x.

c′

Тогда

интегрируем по частям: c2 (x) = ∫(7sin 7x + (28x + 14)cos7x)dx = u = 28x + 14, du = 28dx; =

sin 7x

= −7	1	cos7x +	1	(28x + 14)sin 7x − ∫	28	sin 7xdx	=

7			7	7

= − cos7x + (4x + 2)sin 7x +

cos7x = −

cos7x + (4x + 2)sin 7x + c2 ;

c1 (x) = ∫(−7xsin 7x − (28x2 + 14x)cos7x)dx =

= − 7∫ xsin 7xdx − ∫(28x2 + 14x)cos7xdx;

интегрируем по частям:

I1 = 7∫ xsin 7xdx =

u = x, du = dx;

sin 7xdx = dv, v = −

cos7x

= −7

x cos7x + 7

∫cos7xdx = − x cos7x +

sin 7x;

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2413 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025964 Кб62-3-Курс лекций-ЭЭ и ОВОС.doc
#
01.07.202533 Кб12. Имидж вожатого. ЕПТ.docx
#
20.04.201532 Кб382. Классификация материалов.doc
#
27.09.201947 Кб1120-24.doc
#
23.03.20165 Мб1032004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb.pdf
#
23.03.20163 Мб3462006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb.pdf
#
01.07.2025529 Кб62011-12-20-11-21-45.doc
#
13.09.201965 Кб182012-Вопросы по теоретической механике.doc
#
01.05.2025419 Кб32013-07-18_Uchebnik_dlya_marshalov.docx
#
01.05.2025955 Кб32014_Билеты для госэкзамена.doc
#
01.07.202545 Кб22014L2.docx