2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на y:

Интегрируем обе части полученного уравнения:

Тогда

ln y = − ln 2x − 3 + c; ln y = ln c − ln 2x − 3 ;

Получили общее решение однородного уравнения

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

41

= 4x ln(2x − 5) − 4x − 10ln 2x − 5 + c = (4x − 10)ln(2x − 5) − 4x + c.

При с = 0 получим частное решение

Пример 3.16. Решить задачу Коши: (y4 + 2x)y' = y, y(0) = 1.

Решение

Данное уравнение не является линейным относительно функции у. Будем рассматривать х, как функцию переменной у. Подставим

y′ = dy : dx

( y4 + 2x) dy = y. dx

Разделим обе части уравнения на dy : dx

y4 + 2x = y dx . dy

42

Разделив обе части уравнения на у, получим линейное относи- тельно х неоднородное дифференциальное уравнение

dx − 2x = y3. dy y

Рассмотрим однородное уравнение

dx − 2x =

0,

dy y

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это урав- нение с разделяющимися переменными.

Умножим обе части уравнения на dy и разделим на x:

dx = 2dy . x y

Интегрируем обе части полученного уравнения:

∫ dxx = ln x + с;

∫ 2dyy =2ln y + c.

Тогда

Получили общее решение однородного уравнения

хо.о = су2.

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

xч.н = c( y) y2 .

Тогда

x′ = c′( y) y2 + c( y)2y.

ч.н

43

y c′( y) y2 = y3 ;

c′( y) = y.

Тогда

c( y) = ∫ ydy = y2 + c. 2

При с = 0 получим частное решение неоднородного уравнения

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения

4

х = хо.о + хч.н = су2 + у .

2

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начально- му условию у(0) = 1. Для этого найдем константу с, подставив х = 0 и у = 1 в найденное общее решение неоднородного уравнения:

y(0) = 1.

Решение

Рассмотрим x, как функцию независимой переменной у. Тогда

x′ = 4y7 − 5y + 2 + 2x – линейное относительно x неоднородное урав- y

нение. Рассмотрим однородное уравнение

44

x′ = 2x , y

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравне- ние с разделяющимися переменными.

Подставим x′ = dx : dy

dx = 2x . dy y

Умножим обе части уравнения на dy и разделим на x:

dx = 2dy . x y

Интегрируем обе части полученного уравнения:

x = cy2 .

Получили общее решение однородного уравнения

хо.о = су2.

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

xч.н = с(y)y2.

Тогда

x′ = c′( y) y2 + c( y)2y.

ч.н

45

При с = 0 получим частное решение

Так как х = хо.о + хч.н, то общее решение нашего уравнения

x = сy2 + 2 y8 − 5y2 ln y − 2y .

3

Найдем частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию у(0) = 1. Для этого подставим x = 0 и у = 1 в общее решение неоднородного уравнения и найдем константу c:

0 = с + 2 18 − 5ln1− 2 с = 4 .

3.6. Уравнения Бернулли

Уравнение вида

y′ + P(x) y = Q(x) ym ,

где m ≠ 0, m ≠ 1, а P(x) и Q(x) – непрерывные на некотором интервале (α, β) известные функции, называется уравнением Бернулли. Заметим,

46

что при m = 0 это уравнение является линейным, а при m = 1 – урав- нением с разделяющимися переменными.

С помощью замены z = y1− m уравнение Бернулли приводят к ли-

нейному уравнению. Также решение уравнения Бернулли можно ис- кать в виде произведения двух функций y(x) = u(x)v(x) , где u(x) и

v(x) – неизвестные функции переменной x, или применив метод ва- риации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Отметим, что при m > 1 может быть потеряно решение y = 0.

Сделаем замену

z = y .

Тогда по правилу дифференцирования сложной функции

После подстановки в исходное уравнение получим линейное уравнение

2z′ = 4 z + x. x

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

2z′ = 4 z; x

2 dz = 4 z. dx x

47

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на 2z:

dz = 2dx . z x

Интегрируем обе части полученного уравнения

Получили общее решение однородного уравнения:

zo.o = cx2 .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

zч.н = c(x)x2 .

Тогда

z′ = c′(x)x2 + c(x)2x.

ч.н

Подставим z . и z′ в исходное уравнение:

ч н ч.н

2c′(x)x2 + 4xc(x) = 4 c(x)x2 + x; x

2c′(x)x2 = x;

c′(x) = 1 ; 2x

c(x) = ∫ dx = 1 ln x + c. 2x 2

При с = 0 получим частное решение неоднородного уравнения

48

Так как z = zо.о + zч.н , то общее решение неоднородного уравнения

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1) = 0. Для этого найдем константу с, подставив х = 1 и у = 0 в най- денное общее решение неоднородного уравнения:

Итак, решение задачи Коши

y = x4 ln2 x .

4

2 способ

Решение ищем в виде произведения двух функций y(x) = u(x)v(x). Тогда

y'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).

Подставляя значения y и y' в уравнение y′ = 4 y + x y , получаем x

u′v + uv′ = 4uv + x uv

49

Интегрируем обе части полученного уравнения:

∫ dvv = ln v + c; 4∫ dxx = 4ln x + c.

Тогда

ln v = 4ln x + с; ln v = ln x4 + ln c ; v = cx4 .

Так как нам достаточно найти какое-нибудь одно ненулевое ре- шение уравнения, то при с = 1 получим v = x4 .

Найдем функцию u(x) из условия u′v = x uv . Подставим v = x4 :

u′x4 = x ux4 ; u′x4 = x3 u; u′x = u.

Подставим u′ = du : dx

du x = u. dx

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на u :

du = dx . u x

50