2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

Тогда

y′ = dy = dv . dx du

Исходное уравнение примет вид

dv = u + 1+ 3(v + 1) − 4 ; du 3(u + 1) − (v + 1) − 2

dv = u + 3v . du 3u − v

Получили однородное уравнение. Сделаем еще одну замену

t = v v = tu . u

Тогда

v′ = t′u + t.

Значит, уравнение примет вид

t′u + t = u + 3tu ; 3u − tu

t′u = u + 3tu − t; 3u − tu

t′u = 1+ 3t − t; 3 − t

31

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделим обе части уравнения на u ≠ 0:

6arctg v = ln (v2 + u2 ) + c. u

Подставив u = x – 1, v = y – 1, получим общий интеграл данного уравнения

6arctg y − 1 = ln (( y − 1)2 + (x − 1)2 ) + c . x − 1

32

3.5. Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка назы-

вается уравнение вида

y′ + P(x)y = Q(x),

где P(x), Q(x) – непрерывные на некотором интервале (α, β) извест- ные функции.

Заметим, что для линейного дифференциального уравнения пер- вого порядка выполнены условия теоремы существования и единст- венности решения задачи Коши, т.е. данное уравнение всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее заданному начальному ус-

ловию y(х0) = у0, где х0 (α, β), у0 R.

Если Q(x) = 0, то уравнение называется однородным. Если Q(x) ≠ 0, то уравнение называется неоднородным.

Общее решение однородного уравнения получается разделением переменных:

у ′ + P(x)y = 0;

dy + P(x) y = 0 . dx

Умножим обе части уравнения на dx:

dy + P(x)ydx = 0.

Разделим обе части уравнения на y (при делении на у можем поте- рять решение у = 0):

dy + P(x)dx = 0; y

dy = − P(x)dx . y

Интегрируя левую часть уравнения по y, а правую часть по x по- лучаем

33

y = eс e− ∫ P( x)dx .

Пусть eс = с , тогда общее решение однородного уравнения

y = сe− ∫ P( x)dx .

Заметим, что решение у = 0 мы не теряем, так как оно получается при с = 0.

Для решения неоднородного уравнения применяем метод вариа- ции произвольной постоянной, который заключается в следующем. Сначала находим общее решение соответствующего однородного линейного уравнения. Затем, заменив постоянную с на функцию c(x), ищем частное решение неоднородного уравнения в виде

yч.н = с(x)e− ∫ P( x)dx .

Подставив в исходное уравнение yч.н и y′ч.н, находим функцию с(x). Общее решение неоднородного уравнения будет равно сумме общего решения однородного уравнения уо.о и частного решения не- однородного уравнения уч.н:

у = уо.о + уч.н.

Так же решить неоднородное линейное дифференциальное урав- нение первого порядка можно с помощью метода Бернулли, который заключается в следующем. Решение ищем в виде произведения двух функций

y(x) = u(x)v(x) ,

где u(x) и v(x) – неизвестные функции переменной x. Тогда имеем

y'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).

Подставляя значения y и y' в уравнение y′ + P(x)y = Q(x), получаем u'(x) v(x) + u(x) v'(x)+ P(x) u(x) v(x)= Q(x).

Сгруппируем слагаемые:

u'(x) v(x) + u(x)(v'(x)+ P(x) v(x))= Q(x).

Подберем функцию v(x) так, чтобы v'(x)+ P(x) v(x)= 0. Относи- тельно v(x) имеем линейное однородное уравнение, следовательно, как было показано ранее

34

v = сe− ∫ P( x)dx .

Затем найдем функцию u(x) из условия u'(x) v(x) = Q(x).

Замечание

Иногда удобнее рассматривать уравнение x′+ P(y)x = Q(y) – ли- нейное относительно переменной y.

Решение

Данное уравнение – линейное неоднородное. Рассмотрим два спо- соба решения линейного уравнения: метод вариации произвольной постоянной и метод Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной

x ln x

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это урав- нение с разделяющимися переменными.

Подставим y′ = dy : dx

dy = y . dx x ln x

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на y:

Интегрируем обе части полученного уравнения:

35

ln y = ln ln x + ln c ; y = c ln x .

Итак, общее решение однородного уравнения

yо.о = c ln x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

yч.н = c(x)ln x .

Тогда

y′ = c′(x)ln x + c(x) 1 .

ч.н

x

с′(x) = x.

Тогда

с(x) = ∫ xdx = x2 + с. 2

При с = 0 получим частное решение неоднородного уравнения

Так как у = уо.о + уч.н, то общее решение неоднородного уравнения

у = с ln x + x2 ln x . 2

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному

2

условию у(е) = е . Для этого найдем константу с, подставив x = e и

2

2

у = е в найденное общее решение неоднородного уравнения:

2

36

Метод Бернулли

Решение ищем в виде произведения двух функций y(x) = u(x)v(x). Тогда

y'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).

x ln x

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим пере- менные:

Интегрируем обе части полученного уравнения:

37

Тогда

ln v = ln ln x + c; ln v = ln ln x + ln c ; v = c ln x .

Так как нам достаточно найти какое-нибудь одно ненулевое ре- шение уравнения, то при с = 1 получим v = ln x .

Найдем функцию u(x) из условия u′v = x ln x . Подставим v = ln x :

u′ ln x = x ln x; u′ = x;

Получили общее решение исходного неоднородного уравнения

y = x2 ln x + c ln x .

2

Подставив начальные условия, получим с = 0. Итак, решение задачи Коши:

y(0) = 2.

Решение

Данное уравнение – линейное неоднородное. Рассмотрим одно- родное уравнение

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравне-

ние с разделяющимися переменными. Подставим y′ = dy : dx

38

Умножим обе части уравнения на dx и разделим на y:

Интегрируем обе части полученного уравнения:

∫ dyy = ln y + c;

3dx = +

∫ x2 + 1 3arctg x c.

Тогда

ln y = 3arctgx + c;

y = ec+3arctgx = ec e3arctgx .

Получили общее решение однородного уравнения

yo.o = ce3arctgx .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

′(x)e3arctgx = − 5arctgx e3arctgx ;

с

x2 + 1

с′(x) = − 5arctgx . x2 + 1

39

Тогда

Так как у = уо.о + уч.н, то общее решение неоднородного уравнения

y = ce3arctgx − 5 e3arctgxarctg2 x .

2

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2. Для этого найдем константу с, подставив x = 0 и у = 2 в най- денное общее решение неоднородного уравнения:

2 = ce0 − 5 arctg2 0 e0 c = 2. 2

Итак, решение задачи Коши:

y = 2e3arctgx − 5 e3arctgxarctg2 x .

2

Пример 3.15. Найти общее решение уравнения

Решение

Данное уравнение – линейное неоднородное. Рассмотрим одно- родное уравнение

соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравне-

ние с разделяющимися переменными. Подставим y′ = dy : dx

40