2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

шением исходного уравнения. Из общего решения их получить не-

Пример 3.8. Решить задачу Коши: 2(х + у)dy + (3x + 3y – 1)dx = 0, y(0) = 2.

Решение

x + y = t. Тогда

y' = t' − x' = t' – 1.

Подставляя в уравнение x + y = t и y' = t' – 1, получим

t′ − 1 = − 3t − 1; 2t

t′ = 1− 3t − 1; 2t

t′ = 2t − 3t + 1; 2t

dt = 1− t . dx 2t

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Умножим

обе части уравнения на dx и разделим на 1− t (при этом можем поте- 2t

рять решение t = 1):

21

Интегрируем обе части полученного выражения:

венной подстановкой убеждаемся, что t = 1 является решением дан- ного уравнения. Из общего интеграла его получить невозможно ни при каком значении константы с. Следовательно, t = 1 − особое ре- шение. Тогда решение уравнения

2t + ln(t − 1)2 = − x + с; t = 1.

Сделав обратную замену t = x + y, получим

2(x + y) + ln(x + y − 1)2 = − x + с; x + y = 1.

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(0) = 2. Для этого найдем константу с, подставив x = 0 и y = 2 в об- щий интеграл:

4 + ln1 + 0 = c c = 4.

Следовательно, частный интеграл данного уравнения

3x + 2y + ln(x + y – 1)2 = 4 .

3.3. Дифференциальные уравнения, однородные относительно x и y

Дифференциальное уравнение первого порядка называется одно- родным, если его можно привести к виду

y′ = f y

x

или к виду

22

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

где P(x, y) и Q(x, y) – однородные функции одного порядка, т.е. су-

ществует такое целое число k, что для любого t справедливо тожде-

ство P(tx, ty) = tkP(x, y) и Q(tx, ty) = tkQ(x, y).

С помощью подстановки y = xt (или x = yt) однородное уравнение приводят к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 3.9. Найти общее решение дифференциального уравнения

(4х2 + 3ху + у2)dx + (4у2 + 3ху + х2)dy = 0.

Решение

Данное уравнение однородное, так как функции 4х2 + 3ху + у2 и 4у2 + 3ху + х2 являются однородными функциями одного и того же измерения (второго).

Разделим обе части уравнения на dx, а затем выразим y':

(4y2 + 3xy + x2 ) dy = −(4x2 + 3xy + y2 ); dx

(4y2 + 3xy + x2 ) y′ = −(4x2 + 3xy + y2 );

′ = − 4x2 + 3xy + y2 y 4y2 + 3xy + x2 .

Сделаем замену у = tx, тогда y' = xt' + t. Подставим их в получен- ное уравнение:

xt′ = − 4 + 3t + t2 + 4t3 + 3t2 + t ; 4t2 + 3t + 1

xt′ = − 4 + 4t + 4t2 + 4t3 . 4t2 + 3t + 1

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Подста-

вим t′ = dt : dx

23

Разделим обе части уравнения на 4 + 4t + 4t2 + 4t3 , умножим на dx

4t2 + 3t + 1

и разделим на x:

Интегрируем обе части полученного выражения:

Разложим знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла на множители:

t3 + t2 + t + 1 = t2 (t + 1) + t + 1 = (t + 1)(t2 + 1).

Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму про- стейших дробей методом неопределенных коэффициентов:

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

4t2 + 3t + 1 = A(t2 + 1) + (Bt + C)(t + 1);

4t2 + 3t + 1 = At2 + A + Bt2 + Ct + Bt + C.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего уравнения, получим систему уравнений

24

Тогда

=1 ln t + 1 + 3 ln t2 + 1 . 4 8

Следовательно, получили общий интеграл исходного уравнения

Умножим обе части на 8:

2ln t + 1 + 3ln t2 + 1 = 8с1 − 8ln x ; 8ln x + 2ln t + 1 + 3ln t2 + 1 = 8с1; ln x8 + ln(t + 1)2 + ln(t2 + 1)3 = 8с1;

( y + x)2 ( y2 + x2 )3 = с.

При делении на 4t3 + 4t2 + 4t + 4 могли потерять решение t = –1, т.е. у = – х, но оно содержится в общем интеграле при с = 0. Таким образом, данное уравнение особых решений не имеет.

Следовательно, общий интеграл данного уравнения

( y + x)2 ( y2 + x2 )3 = с.

25

Решение

Данное уравнение однородное, так как его можно привести к виду

y′ = f y . Разделим обе части уравнения на x ≠ 0:

⎝x

x arctg( y / x)

Сделаем замену y/x = t, тогда y = xt, y′ = (xt)′ = x′t + xt′ = t + xt′.

Подставим y/x = t и y′ = t + xt′ в данное уравнение:

Умножим обе части на arctgt:

x arctgtdt = dx .

Разделим на x ≠ 0:

arctgtdt = dx . x

Интегрируем обе части полученного выражения:

∫ dxx = ln x + с;

26

2y arctg y = ln ( y2 + x2 ) + с. x x

Итак, общий интеграл данного дифференциального уравнения

2y arctg y = x ln ( y2 + x2 ) + сx . x

Пример 3.11. Найти общее решение уравнения (2х2 + 2ху)dy =

2

= (4ху − 3у )dx.

Решение

Исходное уравнение однородное, так как функции 2х2 + 2ху и 4ху − 3у2 являются однородными функциями одной и той же степени

27

(второй). Сделаем замену у = tx, тогда dy = xdt + tdx. Подставив их в исходное уравнение, получим

(2x2 + 2x2t)(tdx + xdt) = (4x2t − 3x2t2 )dx;

(2x2 + 2x2t)tdx + (2x2 + 2x2t)xdt = (4x2t − 3x2t2 )dx; x2 (2 + 2t)tdx + x3 (2 + 2t)dt = x2 (4t − 3t2 )dx.

Разделим обе части уравнения на x2:

(2 + 2t)tdx + x(2 + 2t)dt = (4t − 3t2 )dx; (2 + 2t)tdx − (4t − 3t2 )dx = − x(2 + 2t)dt; (2t + 2t2 − 4t + 3t2 )dx = − x(2 + 2t)dt; (5t2 − 2t)dx = − x(2 + 2t)dt.

Разделим обе части уравнении на x(5t2 −2t), при этом можем поте- рять решения t = 0 , t = 2/5 и x = 0:

dx = − (2 + 2t)dt . x 5t2 − 2t

Интегрируем обе части полученного выражения:

Разложим дробь, стоящую под знаком интеграла, на сумму про- стейших дробей методом неопределенных коэффициентов:

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева:

2 + 2t = A(5t − 2) + Bt.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях последнего уравнения, получим систему уравнений

28

Тогда

щем решении при с1 = 0; решение t = 0 потеряно, так как оно не со- держится в общем решении ни при каком значений константы с. Следовательно, t = 0 − особое решение.

Тогда решение данного уравнения