Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

.pdf

Скачиваний:

326

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

2.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

6 + p	=	6 + p	=	D	+	M	=	D( p + 2) + Mp	.

p2 + 2 p ( p + 2) p p p + 2								p( p + 2)

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты D и M.

6 + p = D( p + 2) + Mp .

Подставим p = −2:

4 = −2M M = −2 .

Подставим p = 0:

6 = 2D D = 3 .

Тогда

6 + p

−

p2 + 2 p

p + 2

Следовательно,

X ( p) = − p + 2 +

−

;

p2 + 1 p

+ 2 p p + 2

X ( p) =

−

2 + 1 p2

+ 1 p p + 2

По таблице оригиналов и изображений найдем решение задачи Коши:

x(t) = 2sin t − cost + 3 − e−2t .

Пример 16.6. Решить задачу Коши: x′′ + 4x = 10tet + 8sin 2t, x(0) = = 0, x'(0) = 1.

Решение

Пусть

x(t) = X ( p) .

Тогда по правилу дифференцирования оригиналов

	x′(t) = pX ( p) − x(0)				= pX ( p);

x′′(t) = p				− x′(0) = p			X ( p) − 1.
x′′(t) = p		2	X ( p) − px(0)	− x′(0) = p		2	X ( p) − 1.
		2				2

191

По таблице оригиналов и изображений

	t			1
te		=	( p − 1)2		;

				2
sin 2t =				p2 + 4 .

Применив к обеим частям дифференциального уравнения преоб- разование Лапласа, получим операторное уравнение

p2 X ( p) − 1+ 4X ( p) =

( p − 1)2

p2 +

Выразим отсюда X(p):

( p2 + 4)X ( p) =

+ 1;

( p −

1)2

+ 4

X ( p) =

( p2 + 4)( p − 1)2

( p2 + 4)2

( p2 + 4)

	10
Разложим дробь ( p2 + 4)( p − 1)2 на сумму простейших дробей ме-
тодом неопределенных коэффициентов:
10	= Ap + B +	C	+	D	=
( p2 + 4)( p − 1)2	p2 + 4	p − 1		( p − 1)2

= (Ap + B)( p − 1)2 + C( p2 + 4)( p − 1) + D( p2 + 4) . ( p2 + 4)( p − 1)2

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A, B, С и D:

10 = (Ap + B)( p − 1)2 + C( p2 + 4)( p − 1) + D( p2 + 4) .

Подставим p = 1:

10 = 5D D = 2 .

Далее приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, по- лучим следующую систему:

192

A + C = 0,

A = −C,

B − 2A − C + D = 0,

B + 2C − C + 2 = 0,

= −C − 2,

= 0,

4 + 3C =

−2B + A + 4C = 0,

−2B − C + 4C

2C +

D = 2

A =

A = −C,

B = −

B = −C − 2,

5C = −4,

C = −

D = 2

D = 2.

Тогда

4 p − 6

−

( p2 + 4)( p − 1)2

5 p − 1

( p −

1)2

p2 + 4

Следовательно,

X ( p) =

−

;

5 p2 +

( p2 +

4)2

4 5 p2 + 4 5 p −

1 ( p − 1)2

( p2 + 4)

X ( p) =

−

5 p2 +

( p2 + 4)2

4 5 p2 +

4 5 p − 1 ( p − 1)2

Так как

( p2 + 4) − ( p2 − 4)

−

2( p2 − 4)

( p2 + 4)2

+ 4

( p2 + 4)2

то

X ( p) =

−

2( p2 − 4)

;

2 +

5 p2 + 4 5 p2 +

4 5 p − 1 ( p − 1)2

4 ( p2 + 4)2

X ( p) =

−

2( p2 − 4)

5 p2 +

4 5 p2 +

4 5 p − 1 ( p − 1)2

( p2 + 4)2

193

По таблице оригиналов и изображений найдем решение задачи Коши:

x(t) = 4 cos 2t + 9 sin 2t − 4 et + 2tet − 2t cos 2t. 5 5 5

Пример 16.7. Решить задачу Коши: x′′ − 2x′ + 5x = 7 − 5t, x(0) = 0, x'(0) = 0.

Решение

Пусть

x(t) = X ( p) .

Тогда по правилу дифференцирования оригиналов

x′(t) = pX ( p) − x(0)				= pX ( p);

x′′(t) = p			− x′(0) = p
x′′(t) = p	2	X ( p) − px(0)	− x′(0) = p		2	X ( p).
	2				2

По таблице оригиналов и изображений

	1
1 =			;
1 =			;
		p
		p
	1
t =	p2 .

p2 X ( p) − 2 pX ( p) + 5X ( p) = 7 − 5 . p p2

Выразим отсюда X(p):

X ( p)( p2 − 2 p + 5) =			7		−	5		;

				p p2
X ( p)( p2 − 2 p + 5) =				7 p − 5				;

					p2
X ( p) =		7 p − 5
							.
	p2
		( p2 − 2 p + 5)

7 p − 5

Разложим дробь на сумму простейших дробей p2 ( p2 − 2 p + 5)

методом неопределенных коэффициентов:

194

7 p − 5	=	A	+	B	+	Cp + D	=

p2 ( p2 − 2 p + 5) p p2						p2 − 2 p + 5

= Ap( p2 − 2 p + 5) + B( p2 − 2 p + 5) + (Cp + D) p2 . p2 ( p2 − 2 p + 5)

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A, B, С и D:

7 p − 5 = Ap( p2 − 2 p + 5) + B( p2 − 2 p + 5) + (Cp + D) p2 .

Подставим p = 0:

−5 = 5B B = −1 .

Далее приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, по- лучим следующую систему:

A + C = 0,			C = − A,	C = −1,
−2A + B + D = 0,		−2A − 1+ D = 0,			D = 3,
					A = 1,
5A − 2B = 7,		5A + 2 = 7,
	B = −1		B = −1
				B = −1.

Тогда

7 p − 5

−

p − 3

p2 − 2 p + 5

p2 ( p2 − 2 p + 5) p p2

Следовательно,

X ( p) =

7 p − 5

−

p − 3

p2 ( p2 − 2 p + 5) p p2

p2 − 2 p +

Так как

p − 3

p − 1− 2

p − 1

−

− 1)2 +

− 1)2 + 4

p2 − 2 p + 5 ( p

4 ( p − 1)2 +

4 ( p − 1)2 + 4 ( p

то

X ( p) =

−

p − 1

( p − 1)2 +

p p2

4 ( p − 1)2 +

По таблице оригиналов и изображений найдем решение задачи Коши:

x(t) = 1− t − et cos 2t + et sin 2t.

195

Пример 16.8. Решить задачу Коши: x(IV) + 2x′′ + x = t, x(0) = 0,

x'(0) = 0, x''(0) = 0, x'''(0) = 0.

Решение

Пусть

x(t) = X ( p) .

Тогда по правилу дифференцирования оригиналов

x′(t) = pX ( p) − x(0) = pX ( p);

x′′(t) = p

− px(0) − x′(0) = p

X ( p)

X ( p) ;

x′′′(t) = p

x(0)

− px′(0) − x′′(0) = p

X ( p) ;

X ( p) − p

(t) = p

x(0)

− p

x′(0) − px′′(0) − x′′′(0) = p

X ( p) .

X ( p) −

(IV)

По таблице оригиналов и изображений

t =

p2 .

p4 X ( p) + 2 p2 X ( p) + X ( p) =

Выразим отсюда X(p):

X ( p)( p4 + 2 p2 + 1) =

;

X ( p) =

;

p2 ( p4 + 2 p2 + 1)

X ( p) =

p2 ( p2 + 1)2

Разложим дробь

на сумму простейших дробей мето-

p2 ( p2 + 1)2

дом неопределенных коэффициентов:

Cp + D

Mp + N

p2 ( p2 + 1)2

p2 + 1

( p2 + 1)2

196

= Ap ( p2 + 1)2 + B ( p2 + 1)2 + (Cp + D) p2 ( p2 + 1) + (Mp + N ) p2 .

p2 ( p2 + 1)2

Приравняем числители дробей, стоящих справа и слева и найдем коэффициенты A, B, С, D, M и N:

1 = Ap( p2 + 1)2 + B( p2 + 1)2 + (Cp + D) p2 ( p2 + 1) + (Mp + N ) p2 ;

1 = Ap5 + 2Ap3 + Ap + Bp4 + 2Bp2 + B + Cp5 + Cp3 + Dp4 +

+ Dp2 + Mp3 + Np2 .

Подставим p = 0:

1 = В.

Далее приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p, по- лучим следующую систему:

A + C = 0,

B + D = 0,

2A + C + M2B + D + N

A = 0,B = 1

Тогда

1	=	1
p2 ( p2 + 1)2	=	p2

C = 0,

D = −1,

= 0, M = 0, = 0, N = −1,

A = 0,

B = 1.

1			1
−		−		.
	p2 + 1		( p2 + 1)2

Следовательно,

X ( p) =

−

p2 + 1

( p2 + 1)2

Так как

1 ( p2 + 1) − ( p2 − 1)

1 1

−

1 p2 − 1

( p2 + 1)2

( p2 + 1)

( p2 + 1)2

197

то


X ( p) =	1	−			1		−	1 1				+			1 p2 − 1			;
	p2			p2 + 1				2	( p2 + 1)						2	( p2 + 1)2
X ( p) =			1		−	3		1		+	1			p2 − 1
																	.
			p2			2	( p2 + 1)				2		( p2 + 1)2

По таблице оригиналов и изображений найдем решение задачи Коши:

x(t) = t − 3 sin t + 1 t cost. 2 2

Пример 16.9. Решить задачу Коши системы дифференциальных

dx		= − y,
			x(0) = 1,	y(0) = 1.

уравнений: dt
dy		= 2x + 2y,
		= 2x + 2y,
dt
Решение
Пусть


			x(t) = X ( p) ;


			y(t) = Y ( p) .
Тогда по правилу дифференцирования оригиналов
		x′(t) = pX ( p) − x(0) = pX ( p) − 1;


		y′(t) = pY ( p) − y(0) = pY ( p) − 1.


Переходя к операторной системе, получаем
pX ( p) − 1 = −Y ( p),				pX ( p) + Y ( p) = 1,
	= 2X ( p) +				− 2)Y ( p) = 1.
pY ( p) − 1	= 2X ( p) +		2Y ( p)	−2X ( p) + ( p	− 2)Y ( p) = 1.

Запишем матрицу системы:

A =	p	1
	−2 p − 2 .

Решим данную систему относительно X(p) и Y(p) с помощью формул Крамера:

198

X ( p) = det A1 ; Y ( p) = det A2 , det A det A

где det A – определитель матрицы А;

det A1 – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой первого столбца на столбец свободных членов;

det A2 – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой второго столбца на столбец свободных членов.

Найдем определители detA, detA1 и detA2:

det A =

= p2 − 2 p + 2 ;

−2

p −

det A1 =

= p − 2 − 1 = p − 3 ;

p − 2

det A2

= p + 2 .

−2

Тогда получим решение системы операторных уравнений

X ( p) =

det A1

p − 3

p − 1

−

;

p2 − 2 p + 2

( p − 1)2 + 1

det A

Y ( p) =

det A2

p + 2

p − 1

p2 − 2 p + 2

( p − 1)2 + 1

det A

По таблице оригиналов и изображений найдем оригиналы для

X(p) и Y(p):

p −

X ( p) =

−

= e

cost − 2e

sin t ;

( p − 1)2

+ 1

+ 1 ( p − 1)2

p −

Y ( p) =

= e

cost + 3e

sin t .

+ 1

( p − 1)2 + 1 ( p − 1)2

Тогда решение задачи Коши

x(t) = et cost − 2et sin t,

y(t) = et cost + 3et sin t.

199

Пример 16.10. Решить задачу Коши системы дифференциаль-

dx	= 5x − 3y + 2e3t ,


ных уравнений: dt			x(0) = 1, y(0) = 0.
dy	= x + y + 5e	−t	,

dt

Решение

Пусть

x(t) = X ( p) ;

y(t) = Y ( p) .

Тогда по правилу дифференцирования оригиналов

x′(t) = pX ( p) − x(0) = pX ( p) − 1;

y′(t) = pY ( p) − y(0) = pY ( p) .

Далее, по таблице оригиналов и изображений

p − 3

;

−t

+ 1.

Переходя к операторной системе, получаем

pX ( p) − 1 = 5X ( p) − 3Y ( p) +

− 3

pY ( p) = X ( p) + Y ( p) +

p + 1

( p − 5)X ( p) + 3Y ( p) =

+ 1,

( p − 5)X ( p) + 3Y ( p)

p − 3

− X ( p) + ( p − 1)Y ( p) =

− X ( p) + ( p − 1)Y ( p)

p + 1

Запишем матрицу системы:

A = p − 5

3 .

−1

p − 1

=p − 1 , p − 3

=5 . p + 1

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025963.58 Кб12-3-Курс лекций-ЭЭ и ОВОС.doc
#
20.04.201532.07 Кб362. Классификация материалов.doc
#
01.04.202539.55 Кб12.таможенно-тарифное регулирование.docx
#
27.09.201947.1 Кб1120-24.doc
#
23.03.20165.39 Mб1002004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb.pdf
#
23.03.20162.95 Mб3262006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb.pdf
#
13.09.201964.51 Кб162012-Вопросы по теоретической механике.doc
#
01.05.2025418.82 Кб02013-07-18_Uchebnik_dlya_marshalov.docx
#
01.05.2025955.39 Кб02014_Билеты для госэкзамена.doc
#
23.03.201626.97 Mб77203-elektrotehnika-i-elektronika-elektronika-26mb.pdf
#
23.03.201631.84 Mб402053-osnovy-ekonomicheskoy-teorii-ch-3-makroekonomika-31mb.pdf