2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

16. ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

Общие сведения о преобразовании Лапласа

Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функ- ция f(t) действительного переменного t, удовлетворяющая условиям:

1)f (t) ≡ 0 , если t < 0;

2)f(t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

3)с возрастанием t модуль функции f(t) растет не быстрее показа- тельной функции, т.е. существуют числа M > 0 и δ > 0 такие, что для всех t > 0 имеем

f (t) < Meδt .

Изображением функции f(t) по Лапласу называется функция F(p) комплексного переменного p = s + iσ, где s > δ , определяемая равен-

+∞

ством F( p) = ∫ f (t)e− pt dt .

0

Тот факт, что функция F(p) есть изображение f(t), будем символи- чески записывать так:

F( p) = f (t) .

Функция F(p), определена в полуплоскости Rep = s > δ и является в этой полуполосе аналитической функцией.

Свойства преобразования Лапласа

αf (t) + βg(t) = αF( p) + βG( p).

2. Теорема подобия. Для любого постоянного a > 0

3. Дифференцирование оригинала. Если функции f(t), f '(t), f ''(t), …, f(n)(t) являются функциями-оригиналами, то

181

4. Теорема смещения изображения (умножение оригинала на по-

казательную функцию). Для любого комплексного числа λ

eλt f (t) = F( p − λ).

5. Дифференцирование изображения. Дифференцирование изо-

бражения сводится к умножению на (−t) оригинала:

F′( p) = −tf (t);

F (n) ( p) = (−t)n f (t).

6. Интегрирование оригинала. Интегрирование оригинала сводит- ся к делению изображения на p:

7. Интегрирование изображения. Если интеграл ∫ F(u)du схо-

p

дится, то он служит изображением функции f (t) : t

8. Теорема запаздывания. Для любого положительного числа τ

f (t − τ) = e− pτ F( p).

9. Теорема умножения изображений. Произведение двух изобра-

жений F(p) и G(p) также является изображением, причем

t

F( p)G( p) = ∫ f (τ)g(t − τ)dτ .

0

Интеграл в правой части равенства называется сверткой функций f(t) и g(t) и обозначается символом (fg).

182

Нахождение оригиналов дробно-рациональных функций

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p),

вают на сумму простейших дробей и находят для каждой из них ори- гинал, используя приведенные выше свойства преобразования Лап- ласа и таблицу оригиналов и изображений (табл. 16.1).

В результате, нахождение оригинала f(t) по известному изображе-

нию F( p) = S( p) сведется к нахождению оригиналов изображений

Q( p)

следующего вида

183

Тогда

A= tk −1eαt

.

( p − α)k (k − 1)!

димо в знаменателе выделить полный квадрат по переменной p.

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Пусть требуется найти решение дифференциального уравнения

an x(n) + an−1x(n−1) + ... + a1x′ + a0 x = f (t) ,

удовлетворяющее начальным условиям

x(0) = x0 , x′(0) = x1,..., x(n−1) (0) = xn−1 .

Будем считать, что an ≠ 0 и что функция f(t) и решение x(t) вместе с его производными до n-го порядка включительно являются функ-

Применяя к обеим частям дифференциального уравнения преоб- разование Лапласа и пользуясь свойствами линейности преобразова- ния, получаем операторное уравнение

an ( pn X ( p) − pn−1x(0) − pn−2 x′(0) − ... − x(n−1) (0)) + ... + a1 ( pX ( p) − x(0)) + +a0 X ( p) = F( p).

Решаем операторное уравнение относительно X(p), а затем для оригинала X(p) находим его изображение, которое и будет решением

184

дифференциального уравнения, удовлетворяющим заданным на- чальным условиям.

Решение задачи Коши для системы линейных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с по- стоянными коэффициентами операционным методом производится по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравне- ния, только вместо одного операторного уравнения получается сис- тема операторных уравнений.

Пример 16.1. Найти изображение функции f (t) = e4t .

Решение

Для функции f (t) = e4t имеем δ = 4, поэтому изображение F(p)

определено при Re p > 4. Найдем изображение данной функции по формуле

+∞

F( p) = ∫ f (t)e− pt dt .

0

Тогда

ределено при Re p > 0. Найдем изображение данной функции по фор- муле

185

+∞

F( p) = ∫ f (t)e− pt dt .

0

Тогда