2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений

....................................

dxn = f (t, x , x ,..., x ),

n 1 2 n

dt

сначальными условиями x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , …, xn (t0 ) = x0n . Решение X0(t) = (ϕ1(t), ϕ2(t), …, ϕn(t)) системы дифференциальных

уравнений называется устойчивым по Ляпунову, если для любого ε > 0 найдется δ(ε) > 0 такое, что для любого решения X(t) = (x1(t), x2(t), …, xn(t)) той же системы, значения которого в точке t0 удовле- творяют неравенствам

│xi(t0) – ϕi(t0)│ < δ(ε), i = 1, 2, …, n,

для всех t ≥ t0 справедливы неравенства

│xi(t) – ϕi(t)│ < ε, i = 1, 2, …, n.

Если при сколь угодно малом δ > 0 хотя бы для одного решения xi(t), i = 1, 2, …, n неравенство │xi(t) – ϕi(t)│ < ε не выполняется, то решение X0(t) называется неустойчивым.

Другим словами, решение системы X0(t) будет устойчивым, если все достаточно близкие к нему в начальный момент времени реше- ния остаются близкими и при t > t0.

Устойчивое решение X0(t) системы дифференциальных уравнений называется асимптотически устойчивым, если существует δ > 0 та- кое, что для всякого решения системы X(t), начальное значение кото- рого удовлетворяет неравенству

│xi(t0) – ϕi(t0)│ < δ, i = 1, 2, …, n

выполнено условие:

lim xi (t) − ϕι (t) = 0, i = 1,2,...,n.

t→+∞

171

Классификация положений равновесия линейной однородной системы дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему двух линейных однородных дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами

x′ = a11x + a12 y,y′ = a21x + a22 y,

причем detA ≠ 0.

Точка (0,0), в которой правые части уравнения системы обраща- ются в ноль, называется точкой покоя системы.

Для исследования точки покоя системы необходимо составить ха- рактеристическое уравнение

и найти его корни λ1, λ2. Возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения λ1 и λ2 − действительные несовпадающие (λ1 ≠ λ2 ≠ 0):

а) если λ1 < 0, λ2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива и называется устойчивым узлом (рис. 15.1);

Y

X

Рис. 15.1

б) если λ1 > 0, λ2 > 0, то точка покоя неустойчива и называется не-

устойчивым узлом (рис. 15.2);

в) если λ1 < 0, λ2 > 0, то точка покоя неустойчива и называется

седлом (рис. 15.3).

172

б) если λ > 0, то точка покоя неустойчива и называется неустой-

чивым вырожденным узлом (рис. 15.8).

Y Y

Рис. 15.8

Пример 15.1. Определить характер, исследовать на устойчи-

Решение

Запишем матрицу коэффициентов системы

Найдем ее собственные значения и собственные векторы. Соста- вим характеристическое уравнение

8 − λ − 8λ + λ2 + 6 = 0; λ2 − 9λ + 14 = 0.

Получили собственные значения λ1 = 2, λ2 = 7 (действительные несовпадающие). Так как λ1 > 0,λ2 > 0, то точка покоя неустойчива. Положение равновесия – неустойчивый узел.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = 2, λ2 = 7. Для этого необходимо решить однородные системы

175

При λ1 = 2 получим систему

Тогда фундаментальная система решений

Следовательно, общее решение системы в векторном виде может быть записано следующим образом:

Итак, точка покоя (0, 0) − неустойчивый узел; общее решение сис- темы

x = c1e2t + 3c2e7t ,y = 2c1e2t + c2e7t .

Пример 15.2. Определить характер, исследовать на устойчи-

176

Решение

Запишем матрицу коэффициентов системы

Найдем ее собственные значения и собственные векторы. Соста- вим характеристическое уравнение

8 − 4λ − 2λ + λ2 − 15 = 0; λ2 − 6λ − 7 = 0.

Получили собственные значения λ1 = −1, λ2 = 7 (действительные несовпадающие). Так как λ1 < 0, λ2 >0, то точка покоя неустойчива. Положение равновесия – седло.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = −1, λ2 = 7. Для этого необходимо решить однородные

При λ1 = −1 получим систему

Следовательно, общее решение системы в векторном виде может быть записано следующим образом:

177

т.е.

x = −c1e−t + 3c2e7t ,y = c1e−t + 5c2e7t .

Итак, точка покоя (0, 0) – седло, неустойчива; общее решение сис-

x = −c e−t + 3c e7t ,

темы 1 − 2

y = c1e t + 5c2e7t .

Пример 15.3. Определить характер, исследовать на устойчи-

Решение

Запишем матрицу коэффициентов системы

Найдем ее собственные значения и собственные векторы. Соста- вим характеристическое уравнение

D = 4 – 20 = −16;

λ1,2 = −2 ± 2 −16 = −1 ± 2i.

Получили собственные значения λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i (ком- плексные). Так как α = −1 < 0, то точка покоя (0, 0) асимптотически устойчива. Положение равновесия – устойчивый фокус.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному зна- чению λ1 = −1 + 2i. Для этого необходимо решить однородную систему

178

При λ1 = −1 + 2i получим систему

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду:

179

Следовательно, общее решение системы в векторном виде может быть записано следующим образом:

Итак, точка покоя (0,0) – устойчивый фокус; общее решение сис- темы

x = 2c1e−t cos 2t + 2c2e−t sin 2t,

= −t − + −t +

y c1e (cos 2t sin 2t) c2e (cos 2t sin 2t).

180