Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

.pdf
Скачиваний:
326
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
2.95 Mб
Скачать

x′′ − x′ + 2x + x′ − x + cost = cost + 2sin t .

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

x′′ + x = 2sin t .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения x′′ + x = 0 .

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 1 = 0; k 2 = −1;

k1 = i, k2 = −i.

Так как корни комплексные сопряженные, где α = 0, β = 1, то об- щее решение однородного уравнения

xo.o = c1 cost + c2 sin t .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом не- определенных коэффициентов. Так как f(t) = 2sin t и λ = i корень характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде

xч.н = (Acost + Bsin t)t.

Найдем первые две производные:

x′ = (Asin t + B cost)t + Acost + Bsin t;

ч.н

x′′ = (Acost B sin t)t + (Asin t + B cost) Asin t + B cost =

ч.н

= (Acost Bsin t)t 2Asin t + 2B cost.

Подставив xч.н и x''ч.н в уравнение x′′ + x = 2sin t , получим

(Acost Bsin t)t 2Asin t + 2B cost + (Acost + B sin t)t = 2sin t; 2Asin t + 2B cost = 2sin t.

Приравняв коэффициенты в левой и правой частях последнего уравнения при sin t и при cos t, получим следующую систему:

2A = 2,

A = −1,

 

2B = 0

 

B = 0.

 

 

151

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения

xч.н = −t cost.

Так как x = xо.о. + xч.н, то общее решение неоднородного уравнения x = c1 cost + c2 sin t t cost .

Из первого уравнения исходной системы выразим y: y = x′ − x + cost

Так как

x′ = −c1 sin t + c2 cost cost + t sin t ,

то

y = −c1 sin t + c2 cost cost + t sin t c1 cost c2 sin t + t cost + cost; y = −(c1 + c2 )sin t + (c2 c1 ) cos t + t(sin t + cos t).

Итак, получили общее решение системы

x = c1 cost + c2 sin t t cost,

y = −(c1 + c2 )sin t + (c2 c1 )cost + t(sin t + cost).

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0) = 1, y(0) = −2. Для этого подставим t = 0, x = 1 и y = −2 в общее решение системы

1 = c1 cos0 + c2 sin 0,

c1 = 1,

 

 

c1 = 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 = −(c1 + c2 )sin 0 + (c2 c1 )cos 0

2 = c2 c1

c2 = −1.

 

 

 

 

 

Тогда решение задачи Коши

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = cost sin t t cost,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −2cost + t(sin t + cost).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

x′ = −4x 2y +

 

 

 

 

 

,

 

 

e

t

 

Пример 13.4. Найти общее решение системы

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

= 6x + 3y

 

 

 

 

 

.

 

 

 

e

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

Продифференцируем первое уравнение системы по переменной t:

152

 

2e

t

 

1

 

2e

t

 

x′′ = −4x′ − 2y′ −

 

y′ =

x′′ − 4x′ −

 

.

(et 1)2

 

(et 1)2

 

2

 

 

Подставим y' во второе уравнение системы:

1

 

2e

t

 

3

 

x′′ − 4x′ −

 

= 6x + 3y

.

2

(et 1)2

 

 

 

et 1

Выразим y из первого уравнения системы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −2x

1

 

x′ +

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

et

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x′′

 

 

4x

 

 

2et

 

 

6x

 

 

 

3

2x

 

 

 

1

x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

 

 

=

+

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

et

1

 

 

et

 

1

Умножим обе части уравнения на 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′′

 

 

4x

 

 

 

2et

 

 

 

12x

 

 

 

3

4x

 

 

x

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

6

 

;

 

 

 

 

 

 

 

=

+

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et 1

 

 

 

et

1

 

 

 

x′′ − 4x′ −

2et

 

 

= 12x 12x 3x′ +

 

 

6

 

 

 

 

 

 

6

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et 1 et 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′′ − x′ −

 

 

 

 

2et

= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′′ + x′ = −

 

 

2et

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения x′′ + x′ = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + k = 0; k1 = 0,k2 = −1.

Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения

153

xo.o = c1 + c2et .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xч.н

 

= c1 (t) + c2 (t)et .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функции c1(t) и c2(t) найдем из системы уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(t)

+

c (t)et

=

 

0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

(t)

 

 

 

 

c

(t)et ,

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

= −

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)+ c

(t)(et )= −

 

 

2e

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

t

 

 

 

 

 

c(t)

 

 

 

 

 

 

c(t)et = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(et

1)2

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

(t)

 

 

 

 

 

c

(t)e

t

,

 

 

 

 

c(t) = −

 

 

2et

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

(et 1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

= −

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c

 

(t)

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c(t)

=

 

 

 

 

 

2e2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(e

t

 

1)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

(e

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2e2t dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et et dt

 

 

 

 

et

 

1 = z,

 

 

 

 

 

 

 

(z + 1)dz

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

(t) =

 

 

 

 

=2

 

 

 

 

=

e

t

 

= z + 1,

= 2

 

 

 

 

=

2

 

+ 2

=

(e

t

1)

2

 

 

 

(e

t

1)

2

 

 

 

 

 

 

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et dt = dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2ln

 

z

 

2

1

+ c

 

= 2ln

 

et 1

 

 

2

 

 

+ c ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et 1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = z,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2et dt

 

 

 

 

 

 

 

et

 

 

 

 

 

dz

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c1 (t) = −

 

 

 

 

 

=

et

 

= z + 1,

= −2

=

+ c1

=

 

 

 

 

 

 

 

 

+ c1.

 

 

 

 

(e

t

1)

2

 

 

z

2

 

z

 

e

t

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et dt = dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При с1 = 0 и с2 = 0 получим частное решение неоднородного урав- нения

xч.н

=

 

 

2

 

+ 2ln

 

et 1

 

 

 

 

 

2

 

 

et ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

e

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ч.н

=

 

2

 

+ 2et ln

 

et 1

 

2et

;

 

 

 

 

et

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

ч.н

 

=

2 2et

+ 2et ln

 

et 1

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

154

x

ч.н

=

2et (et 1)

+ 2et ln

 

et 1

 

;

 

 

 

 

 

et 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xч.н = 2et + 2et ln

et 1

.

Так как x. = xо.о + xч.н, то общее решение неоднородного уравнения

x = c1 + c2et + 2et + 2et ln et 1 .

Выразим y из первого уравнения исходной системы:

 

 

 

 

 

 

y = −2x

1

x′ +

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′ = −c et 2et 2et ln

 

et 1

 

+

 

2et

 

 

 

et

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x′ = −c2et 2et 2et ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et 1

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

 

 

et 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −2(c1 + c2et + 2et + 2et ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

et 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

c et

2et 2et ln

 

et 1

 

+

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −2c1 2c2et 4et 4et ln

et 1

+

 

 

 

 

 

 

+

1

c et

+ et + et ln

 

et 1

 

1

 

 

 

 

+

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

et 1 et

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −2c1

c2et 3et 3et ln

 

et 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, общее решение системы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = c1 + c2et + 2et + 2et ln

 

et

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = −2c1

3

c2et 3et 3et ln

 

et 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

155

14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида

dx

= а11х1

+ а12 х2

+ + а1n xn + f1 (t),

 

1

dt

 

 

 

 

dx2

= а21х1

+ а22 х2

+ + а2n хn + f2 (t),

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

......................................................

 

 

 

 

 

 

dx

= an1x1

+ an2 x2

+ + ann xn + fn (t),

 

 

n

 

 

 

dt

 

 

 

где коэффициенты aij постоянные; а fi(t) – непрерывные на некото- ром интервале функции.

Данную систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме

X (t) = AX (t) + F(t) ,

где

x1 (t)

x1(t)

a11

a12

...

a1n

 

x (t)

 

x

(t)

 

a

a

...

a

 

,

X (t) =

2

 

, X (t) =

2

 

 

, A = 21

22

...

2n

 

 

 

 

 

 

 

... ...

...

 

x (t)

 

x

(t)

 

a

a

...

a

 

 

 

n

 

 

n

 

 

n1

n2

 

 

nn

 

 

f (t)

 

1

 

F(t) =

f2 (t) .

 

 

 

 

 

 

 

fn (t)

Линейные однородные системы

Линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида

156

dx

= а11х1

+ а12 х2 + + а1n xn ,

 

1

dt

 

 

 

dx2

= а21х1

+ а22 х2 + + а2n хn ,

 

 

 

 

 

dt

 

 

................................................

dx

= an1x1 + an2 x2 + + ann xn ,

 

n

 

dt

 

или в матричной форме

X (t) = AX (t) .

Фундаментальной системой решений системы дифференциаль-

ных уравнений называется совокупность n линейно независимых решений X1(t), X2(t), ..., Xn(t), где

 

x

(t)

 

 

1i

 

Xi

(t) = x2i (t)

 

 

 

 

 

 

(t)

 

xni

.

Если X1(t), X2(t), ..., Xn(t) – фундаментальная система решений, то общее решение однородной системы имеет вид

X(t) = с1 X1(t) + с2 X2(t)+ ... +сn Xn(t),

где с1, с2,…, сn произвольные постоянные.

Чтобы решить линейную однородную систему дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами, можно свести эту систему к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, а также для нахождения фундаментальной системы решений можно использовать методы линейной алгебры.

Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Ненулевой век- тор xλ называется собственным вектором линейного оператора A,

если

A(xλ ) = λxλ .

Число λ собственное значение линейного оператора A, отве- чающее собственному вектору xλ

157

Число λ является собственным значением линейного оператора А тогда и только тогда, когда λ корень уравнения det(A λE) = 0. Это уравнение называется характеристическим и записывается в виде

a11 − λ

a12

...

a1n

 

 

a21

a22 − λ

...

a2n

= 0 .

...

...

...

...

 

an1

an2

...

ann − λ

 

Для решения системы дифференциальных уравнений X (t) = AX (t)

из характеристического уравнения det(A λE) = 0 находят корни λ1, λ2, …, λn, а затем для каждого корня λi (с учетом кратности) опреде- ляется соответствующее ему частное решение Xλk (t) . Общее реше-

ние системы имеет вид

X (t) = c1 Xλ1 (t) + c2 Xλ2 (t) + ... + cn Xλn (t) .

При этом возможны следующие случаи:

1) λk действительный корень кратности 1. Тогда

 

 

 

y

 

 

 

 

 

1k

X

λk

(t) = Y eλk t

= y2k eλk t ,

 

k

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ynk

где Yk собственный вектор линейного оператора A, соответствую- щий собственному значению λk.

2) λk комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характери- стического уравнения будет также сопряженное с λk число λk . Вме-

сто комплексных частных решений Xλk (t) = Yk eλk t и Xλk (t) = Yk eλk t ,

где Yk собственный вектор линейного оператора A, соответствую- щий собственному значению λk, необходимо взять действительные частные решения X1k (t) = ReYk eλk t , X2k (t) = ImYk eλk t .

3) λk действительный корень кратности r. Тогда соответствую- щее этому собственному значению частное решение системы ищем в виде вектора

158

 

 

 

 

α11

+ α12t + ... + α1rt

r 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

(t) =

 

α21

+ α22t + ... + α2rtr 1

 

e

λk t

,

λk

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 1

 

 

 

 

 

 

 

αn1

+ αn2t + ... + αnrt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где коэффициенты αij находим из системы линейных уравнений, ко- торая получается в результате подстановки вектора Xλk (t) в исход-

ную систему после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях t.

Пример 14.1. Решить задачу Коши системы дифференциальных

 

dx

 

= 2x + 3y,

 

 

 

 

 

 

уравнений

dt

 

x(0) = 3, y(0) = 0.

 

dy

 

= 6x y;

 

 

 

 

 

dt

 

 

Решение

Запишем матрицу коэффициентов системы

2

3

A =

6

.

 

1

Найдем ее собственные значения и собственные векторы. Соста- вим характеристическое уравнение:

2 − λ

3

 

= 0 (2 − λ)(−1− λ) − 18 = 0;

 

6

1− λ

 

2 + λ − 2λ + λ2 − 18 = 0; λ2 − λ − 20 = 0.

Получили собственные значения λ1 = 5 и λ2 = –4 (действительные несовпадающие). Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = 5 и λ2 = –4. Для этого необходимо ре- шить однородные системы

 

 

 

2 − λ

ι

3

y

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

1

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1− λι y2

 

0

 

 

 

 

При λ1 = 5 получим систему

 

 

 

 

 

 

 

 

3 3

y1

0

 

 

3y1 + 3y2 = 0 y1

= y2

y1

 

= c1

1

 

6

 

=

 

.

6

y2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

1

159

При λ2 = –4

6

3 y

 

 

0

 

6y1

+ 3y2

= 0 2y1 = − y2

y

 

= c2

 

1

 

 

6

3

1

 

=

1

 

.

 

y2

 

0

 

 

 

 

y2

 

 

2

 

Тогда фундаментальная система решений

1

 

1

 

 

1

e5t ,

2

e4t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, общее решение системы в векторном виде может быть записано следующим образом:

x

= c1

1

 

e5t

y

 

1

т.е.

x = c1e5ty = c1e5t

+ c2

 

1

 

 

2

e4t ,

 

 

 

+ c2e4t ,

2c2e4t .

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0) = 3, y(0) = 0. Для этого подставим t = 0, x = 3 и y = 0 в общее решение системы:

3 = c1 + c2 ,

3 = 3c2 ,

c2 = 1,

 

= c1

2c2

 

= 2c2

 

= 2.

0

c1

c1

Тогда решение задачи Коши

x = 2e5t + e4t ,y = 2e5t 2e4t .

Пример 14.2. Найти общее решение системы дифференциаль-

dx

 

 

= 2x y + z,

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

ных уравнений

 

dy

 

= x + 2y z,

 

 

dt

 

 

 

dz

 

 

= x y + 2z.

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

160