2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС"

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

− x′′ − 4x′ −

= 6x + 3y −

.pdf

Скачиваний:

326

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

2.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

x′′ − x′ + 2x + x′ − x + cost = cost + 2sin t .

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

x′′ + x = 2sin t .

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения x′′ + x = 0 .

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 1 = 0; k 2 = −1;

k1 = i, k2 = −i.

Так как корни комплексные сопряженные, где α = 0, β = 1, то об- щее решение однородного уравнения

xo.o = c1 cost + c2 sin t .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом не- определенных коэффициентов. Так как f(t) = 2sin t и λ = i – корень характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде

xч.н = (Acost + Bsin t)t.

Найдем первые две производные:

x′ = (− Asin t + B cost)t + Acost + Bsin t;

ч.н

x′′ = (− Acost − B sin t)t + (− Asin t + B cost) − Asin t + B cost =

ч.н

= (− Acost − Bsin t)t − 2Asin t + 2B cost.

Подставив xч.н и x''ч.н в уравнение x′′ + x = 2sin t , получим

(− Acost − Bsin t)t − 2Asin t + 2B cost + (Acost + B sin t)t = 2sin t; −2Asin t + 2B cost = 2sin t.

Приравняв коэффициенты в левой и правой частях последнего уравнения при sin t и при cos t, получим следующую систему:

−2A = 2,		A = −1,
	2B = 0		B = 0.

151

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения

xч.н = −t cost.

Так как x = xо.о. + xч.н, то общее решение неоднородного уравнения x = c1 cost + c2 sin t − t cost .

Из первого уравнения исходной системы выразим y: y = x′ − x + cost

Так как

x′ = −c1 sin t + c2 cost − cost + t sin t ,

то

y = −c1 sin t + c2 cost − cost + t sin t − c1 cost − c2 sin t + t cost + cost; y = −(c1 + c2 )sin t + (c2 − c1 ) cos t + t(sin t + cos t).

Итак, получили общее решение системы

x = c1 cost + c2 sin t − t cost,

y = −(c1 + c2 )sin t + (c2 − c1 )cost + t(sin t + cost).

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0) = 1, y(0) = −2. Для этого подставим t = 0, x = 1 и y = −2 в общее решение системы

1 = c1 cos0 + c2 sin 0,	c1 = 1,			c1 = 1,

−2 = −(c1 + c2 )sin 0 + (c2 − c1 )cos 0	−2 = c2 − c1			c2 = −1.
Тогда решение задачи Коши
x = cost − sin t − t cost,
y = −2cost + t(sin t + cost).
									2
		x′ = −4x − 2y +									,
		x′ = −4x − 2y +				e		t	−		,
Пример 13.4. Найти общее решение системы						e			−	1
Пример 13.4. Найти общее решение системы							3
							3
		y′	= 6x + 3y −							.
		y′	= 6x + 3y −		e	t	− 1			.
					e		− 1

Решение

Продифференцируем первое уравнение системы по переменной t:

152

	2e	t		1		2e	t
x′′ = −4x′ − 2y′ −			y′ =		− x′′ − 4x′ −			.
	(et − 1)2					(et − 1)2
			2

Подставим y' во второе уравнение системы:

Выразим y из первого уравнения системы:

y = −2x −

x′ +

et −

Тогда

x′′

4x′

2et

x′

−

(et − 1)2

et −

− 1

Умножим обе части уравнения на 2:

x′′

4x′

2et

12x

x′

;

−

(et − 1)2

et − 1

− 1

− x′′ − 4x′ −

2et

= 12x − 12x − 3x′ +

−

;

(et − 1)2

et − 1 et − 1

− x′′ − x′ −

2et

= 0;

(et − 1)2

x′′ + x′ = −

2et

(et − 1)2

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения x′′ + x′ = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + k = 0; k1 = 0,k2 = −1.

Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения

153

xo.o = c1 + c2e−t .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

xч.н

= c1 (t) + c2 (t)e−t .

Функции c1(t) и c2(t) найдем из системы уравнений

c′(t)

c ′ (t)e−t

c′

(t)

′

(t)e−t ,

= −

(1)′ + c′

(t)(e−t )′ = −

c′(t)

−c′ (t)e−t = −

(et −

1)2

(et − 1)2

c′

(t)

′

(t)e

−t

c′(t) = −

2et

(et − 1)2

= −

c′

(t)

c′ (t)

2e2t

− 1)

Тогда

2e2t dt

et et dt

− 1 = z,

(z + 1)dz

(t) = ∫

=2∫

= z + 1,

= 2∫

2∫

+ 2∫

− 1)

et dt = dz

= 2ln

− 2

+ c

= 2ln

et − 1

−

+ c ;

et − 1

− 1 = z,

2et dt

c1 (t) = −∫

= z + 1,

= −2∫

+ c1

+ c1.

− 1)

− 1

et dt = dz

При с1 = 0 и с2 = 0 получим частное решение неоднородного урав- нения

xч.н

+ 2ln

et − 1

−

e−t ;

− 1

ч.н

+ 2e−t ln

et − 1

−

2e−t

;

et −

− 1

ч.н

2 − 2e−t

+ 2e−t ln

et − 1

;

et − 1

154


x	ч.н	=	2e−t (et − 1)	+ 2e−t ln		et − 1		;


			et − 1

		xч.н = 2e−t + 2e−t ln			et − 1		.

Так как x. = xо.о + xч.н, то общее решение неоднородного уравнения

x = c1 + c2e−t + 2e−t + 2e−t ln et − 1 .

Выразим y из первого уравнения исходной системы:

y = −2x −

x′ +

− 1

Так как

x′ = −c e−t − 2e−t − 2e−t ln

et − 1

2e−t

;

et −

x′ = −c2e−t − 2e−t − 2e−t ln

et − 1

то

et − 1

y = −2(c1 + c2e−t + 2e−t + 2e−t ln

)−

et − 1

−

−c e−t

− 2e−t − 2e−t ln

et − 1

;

− 1

y = −2c1 − 2c2e−t − 4e−t − 4e−t ln

et − 1

c e−t

+ e−t + e−t ln

et − 1

−

;

2 2

et − 1 et

−

y = −2c1 −

c2e−t − 3e−t − 3e−t ln

et − 1

Следовательно, общее решение системы

x = c1 + c2e−t + 2e−t + 2e−t ln

− 1

y = −2c1 −

c2e−t − 3e−t − 3e−t ln

et − 1

155

14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида


dx		= а11х1	+ а12 х2	+ + а1n xn + f1 (t),
	1
	dt

dx2		= а21х1	+ а22 х2	+ + а2n хn + f2 (t),


dt
......................................................

dx		= an1x1	+ an2 x2	+ + ann xn + fn (t),
	n

dt

где коэффициенты aij – постоянные; а fi(t) – непрерывные на некото- ром интервале функции.

Данную систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме

X ′(t) = AX (t) + F(t) ,

где

x1 (t)

x1′(t)

a11

a12

...

a1n

x (t)

x′

(t)

...

X (t) =

, X ′(t) =

, A = 21

...

... ...

...

x (t)

x′

(t)

...

	f (t)
	1
F(t) =	f2 (t) .


	fn (t)

Линейные однородные системы

Линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида

156

dx		= а11х1	+ а12 х2 + + а1n xn ,
	1
	dt

dx2		= а21х1	+ а22 х2 + + а2n хn ,


dt

................................................

dx		= an1x1 + an2 x2 + + ann xn ,
	n

dt

или в матричной форме

X ′(t) = AX (t) .

Фундаментальной системой решений системы дифференциаль-

ных уравнений называется совокупность n линейно независимых решений X1(t), X2(t), ..., Xn(t), где

	x		(t)
		1i
Xi	(t) = x2i (t)

			(t)
	xni		(t)

Если X1(t), X2(t), ..., Xn(t) – фундаментальная система решений, то общее решение однородной системы имеет вид

X(t) = с1 X1(t) + с2 X2(t)+ ... +сn Xn(t),

где с1, с2,…, сn – произвольные постоянные.

Чтобы решить линейную однородную систему дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами, можно свести эту систему к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, а также для нахождения фундаментальной системы решений можно использовать методы линейной алгебры.

Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Ненулевой век- тор xλ называется собственным вектором линейного оператора A,

если

A(xλ ) = λxλ .

Число λ − собственное значение линейного оператора A, отве- чающее собственному вектору xλ

157

Число λ является собственным значением линейного оператора А тогда и только тогда, когда λ – корень уравнения det(A – λE) = 0. Это уравнение называется характеристическим и записывается в виде

a11 − λ	a12	...	a1n

a21	a22 − λ	...	a2n	= 0 .
...	...	...	...

an1	an2	...	ann − λ

Для решения системы дифференциальных уравнений X ′(t) = AX (t)

из характеристического уравнения det(A – λE) = 0 находят корни λ1, λ2, …, λn, а затем для каждого корня λi (с учетом кратности) опреде- ляется соответствующее ему частное решение Xλk (t) . Общее реше-

ние системы имеет вид

X (t) = c1 Xλ1 (t) + c2 Xλ2 (t) + ... + cn Xλn (t) .

При этом возможны следующие случаи:

1) λk – действительный корень кратности 1. Тогда

			y
				1k
X	λk	(t) = Y eλk t	= y2k eλk t ,
	λk	k	...

			ynk

где Yk – собственный вектор линейного оператора A, соответствую- щий собственному значению λk.

2) λk – комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характери- стического уравнения будет также сопряженное с λk число λk . Вме-

сто комплексных частных решений Xλk (t) = Yk eλk t и Xλk (t) = Yk eλk t ,

где Yk – собственный вектор линейного оператора A, соответствую- щий собственному значению λk, необходимо взять действительные частные решения X1k (t) = ReYk eλk t , X2k (t) = ImYk eλk t .

3) λk – действительный корень кратности r. Тогда соответствую- щее этому собственному значению частное решение системы ищем в виде вектора

158

			α11	+ α12t + ... + α1rt	r −1
			α11	+ α12t + ... + α1rt
X		(t) =	α21	+ α22t + ... + α2rtr −1			e	λk t	,
X	λk	(t) =		...			e		,
	λk

						r −1
			αn1	+ αn2t + ... + αnrt		r −1
			αn1	+ αn2t + ... + αnrt

где коэффициенты αij находим из системы линейных уравнений, ко- торая получается в результате подстановки вектора Xλk (t) в исход-

ную систему после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях t.

Пример 14.1. Решить задачу Коши системы дифференциальных

	dx	= 2x + 3y,


уравнений	dt	x(0) = 3, y(0) = 0.
	dy	= 6x − y;

	dt

Решение

Запишем матрицу коэффициентов системы

2		3
A =	6	.
	6	−1

Найдем ее собственные значения и собственные векторы. Соста- вим характеристическое уравнение:

2 − λ	3	= 0 (2 − λ)(−1− λ) − 18 = 0;

6	−1− λ

−2 + λ − 2λ + λ2 − 18 = 0; λ2 − λ − 20 = 0.

Получили собственные значения λ1 = 5 и λ2 = –4 (действительные несовпадающие). Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = 5 и λ2 = –4. Для этого необходимо ре- шить однородные системы

2 − λ

−1− λι y2

При λ1 = 5 получим систему

−3 3

−3y1 + 3y2 = 0 y1

= y2

= c1

−6

159

При λ2 = –4

6		3 y			0	6y1	+ 3y2	= 0 2y1 = − y2	y	= c2		1
	6	3	1	=					1		.
			y2		0				y2			−2

Тогда фундаментальная система решений

Следовательно, общее решение системы в векторном виде может быть записано следующим образом:

x	= c1	1
	= c1	e5t
y		1

т.е.

x = c1e5ty = c1e5t

+ c2	1
+ c2	−2	e−4t ,
	−2

+ c2e−4t ,

− 2c2e−4t .

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0) = 3, y(0) = 0. Для этого подставим t = 0, x = 3 и y = 0 в общее решение системы:

3 = c1 + c2 ,			3 = 3c2 ,		c2 = 1,
	= c1	− 2c2		= 2c2		= 2.
0			c1		c1

Тогда решение задачи Коши

x = 2e5t + e−4t ,y = 2e5t − 2e−4t .

Пример 14.2. Найти общее решение системы дифференциаль-


dx		= 2x − y + z,


dt
ных уравнений	dy	= x + 2y − z,

dt
dz		= x − y + 2z.


dt

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2416 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.20254.15 Mб12-2-Учебное пособие-ЭЭ и ОВОС.doc
#
01.04.2025963.58 Кб12-3-Курс лекций-ЭЭ и ОВОС.doc
#
20.04.201532.07 Кб362. Классификация материалов.doc
#
27.09.201947.1 Кб1120-24.doc
#
23.03.20165.39 Mб1002004-matematicheskiy-analiz-differencial-noe-ischislenie-funkciy-odnoy-peremennoy-5mb.pdf
#
23.03.20162.95 Mб3262006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb.pdf
#
13.09.201964.51 Кб162012-Вопросы по теоретической механике.doc
#
01.05.2025418.82 Кб02013-07-18_Uchebnik_dlya_marshalov.docx
#
01.05.2025955.39 Кб22014_Билеты для госэкзамена.doc
#
23.03.201626.97 Mб79203-elektrotehnika-i-elektronika-elektronika-26mb.pdf
#
23.03.201631.84 Mб402053-osnovy-ekonomicheskoy-teorii-ch-3-makroekonomika-31mb.pdf