
2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb
.pdfx′′ − x′ + 2x + x′ − x + cost = cost + 2sin t .
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x′′ + x = 2sin t .
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения x′′ + x = 0 .
Составим характеристическое уравнение:
k 2 + 1 = 0; k 2 = −1;
k1 = i, k2 = −i.
Так как корни комплексные сопряженные, где α = 0, β = 1, то об- щее решение однородного уравнения
xo.o = c1 cost + c2 sin t .
Найдем частное решение неоднородного уравнения методом не- определенных коэффициентов. Так как f(t) = 2sin t и λ = i – корень характеристического уравнения, то частное решение будем искать в виде
xч.н = (Acost + Bsin t)t.
Найдем первые две производные:
x′ = (− Asin t + B cost)t + Acost + Bsin t;
ч.н
x′′ = (− Acost − B sin t)t + (− Asin t + B cost) − Asin t + B cost =
ч.н
= (− Acost − Bsin t)t − 2Asin t + 2B cost.
Подставив xч.н и x''ч.н в уравнение x′′ + x = 2sin t , получим
(− Acost − Bsin t)t − 2Asin t + 2B cost + (Acost + B sin t)t = 2sin t; −2Asin t + 2B cost = 2sin t.
Приравняв коэффициенты в левой и правой частях последнего уравнения при sin t и при cos t, получим следующую систему:
−2A = 2, |
A = −1, |
||
|
2B = 0 |
|
B = 0. |
|
|
151
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения
xч.н = −t cost.
Так как x = xо.о. + xч.н, то общее решение неоднородного уравнения x = c1 cost + c2 sin t − t cost .
Из первого уравнения исходной системы выразим y: y = x′ − x + cost
Так как
x′ = −c1 sin t + c2 cost − cost + t sin t ,
то
y = −c1 sin t + c2 cost − cost + t sin t − c1 cost − c2 sin t + t cost + cost; y = −(c1 + c2 )sin t + (c2 − c1 ) cos t + t(sin t + cos t).
Итак, получили общее решение системы
x = c1 cost + c2 sin t − t cost,
y = −(c1 + c2 )sin t + (c2 − c1 )cost + t(sin t + cost).
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0) = 1, y(0) = −2. Для этого подставим t = 0, x = 1 и y = −2 в общее решение системы
1 = c1 cos0 + c2 sin 0, |
c1 = 1, |
|
|
c1 = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 = −(c1 + c2 )sin 0 + (c2 − c1 )cos 0 |
−2 = c2 − c1 |
c2 = −1. |
|
|
|
|
|
||||
Тогда решение задачи Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = cost − sin t − t cost, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −2cost + t(sin t + cost). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x′ = −4x − 2y + |
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
e |
t |
− |
|
||||||
Пример 13.4. Найти общее решение системы |
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
y′ |
= 6x + 3y − |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
e |
t |
− 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
Продифференцируем первое уравнение системы по переменной t:
152
|
2e |
t |
|
1 |
|
2e |
t |
|
x′′ = −4x′ − 2y′ − |
|
y′ = |
− x′′ − 4x′ − |
|
. |
|||
(et − 1)2 |
|
(et − 1)2 |
||||||
|
2 |
|
|
Подставим y' во второе уравнение системы:
1 |
|
2e |
t |
|
3 |
|
− x′′ − 4x′ − |
|
= 6x + 3y − |
. |
|||
2 |
(et − 1)2 |
|
||||
|
|
et − 1 |
Выразим y из первого уравнения системы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −2x − |
1 |
|
x′ + |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
et − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
x′′ |
|
|
4x′ |
|
|
2et |
|
|
6x |
|
|
|
3 |
2x |
|
|
|
1 |
x′ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|||||||||||||||||
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
|
= |
+ |
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
et − |
1 |
|
|
et |
|
− 1 |
||||||||||||||
Умножим обе части уравнения на 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x′′ |
|
|
4x′ |
|
|
|
2et |
|
|
|
12x |
|
|
|
3 |
4x |
|
|
x′ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
; |
|
|||||||||||||||
|
|
− |
− |
− |
|
|
|
|
= |
+ |
− |
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et − 1 |
|
|
|
et |
− 1 |
|||||||||||||
|
|
|
− x′′ − 4x′ − |
2et |
|
|
= 12x − 12x − 3x′ + |
|
|
6 |
|
|
− |
|
|
|
|
6 |
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et − 1 et − 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x′′ − x′ − |
|
|
|
|
2et |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x′′ + x′ = − |
|
|
2et |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения x′′ + x′ = 0.
Составим характеристическое уравнение:
k 2 + k = 0; k1 = 0,k2 = −1.
Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения
153
xo.o = c1 + c2e−t .
Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xч.н |
|
= c1 (t) + c2 (t)e−t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Функции c1(t) и c2(t) найдем из системы уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c′(t) |
+ |
c ′ (t)e−t |
= |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c′ |
(t) |
|
|
|
|
c |
′ |
(t)e−t , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(1)′ + c′ |
(t)(e−t )′ = − |
|
|
2e |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c′(t) |
|
|
|
|
|
|
−c′ (t)e−t = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(et − |
1)2 |
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c′ |
(t) |
|
|
|
|
|
c |
′ |
(t)e |
−t |
, |
|
|
|
|
c′(t) = − |
|
|
2et |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(et − 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c′ |
|
(t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c′ (t) |
= |
|
|
|
|
|
2e2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(e |
t |
|
− 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(e |
− 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2e2t dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et et dt |
|
|
|
|
et |
|
− 1 = z, |
|
|
|
|
|
|
|
(z + 1)dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
dz |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
c2 |
(t) = ∫ |
|
|
|
|
=2∫ |
|
|
|
|
= |
e |
t |
|
= z + 1, |
= 2∫ |
|
|
|
|
= |
2∫ |
|
+ 2∫ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(e |
t |
− 1) |
2 |
|
|
|
(e |
t |
− 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et dt = dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= 2ln |
|
z |
|
− 2 |
1 |
+ c |
|
= 2ln |
|
et − 1 |
|
− |
|
2 |
|
|
+ c ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et − 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 = z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2et dt |
|
|
|
|
|
|
|
et |
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
c1 (t) = −∫ |
|
|
|
|
|
= |
et |
|
= z + 1, |
= −2∫ |
= |
+ c1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ c1. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(e |
t |
− 1) |
2 |
|
|
z |
2 |
|
z |
|
e |
t |
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et dt = dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При с1 = 0 и с2 = 0 получим частное решение неоднородного урав- нения
xч.н |
= |
|
|
2 |
|
+ 2ln |
|
et − 1 |
|
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
e−t ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
− 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
ч.н |
= |
|
2 |
|
+ 2e−t ln |
|
et − 1 |
|
− |
2e−t |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
et − |
|
|
− 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
ч.н |
|
= |
2 − 2e−t |
+ 2e−t ln |
|
et − 1 |
|
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
et − 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
154

x |
ч.н |
= |
2e−t (et − 1) |
+ 2e−t ln |
|
et − 1 |
|
; |
|||
|
|
||||||||||
|
|||||||||||
|
|
et − 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
xч.н = 2e−t + 2e−t ln |
et − 1 |
. |
Так как x. = xо.о + xч.н, то общее решение неоднородного уравнения
x = c1 + c2e−t + 2e−t + 2e−t ln et − 1 .
Выразим y из первого уравнения исходной системы:
|
|
|
|
|
|
y = −2x − |
1 |
x′ + |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x′ = −c e−t − 2e−t − 2e−t ln |
|
et − 1 |
|
+ |
|
2e−t |
|
|
|
et |
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et − |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x′ = −c2e−t − 2e−t − 2e−t ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
et − 1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
et − 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = −2(c1 + c2e−t + 2e−t + 2e−t ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)− |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
et − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
1 |
|
−c e−t |
− 2e−t − 2e−t ln |
|
et − 1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
− 1 |
|
|
|
|
e |
|
|
− 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = −2c1 − 2c2e−t − 4e−t − 4e−t ln |
et − 1 |
+ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ |
1 |
c e−t |
+ e−t + e−t ln |
|
et − 1 |
|
− |
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
et − 1 et |
|
− |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y = −2c1 − |
c2e−t − 3e−t − 3e−t ln |
|
et − 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, общее решение системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x = c1 + c2e−t + 2e−t + 2e−t ln |
|
et |
|
|
− 1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y = −2c1 − |
3 |
c2e−t − 3e−t − 3e−t ln |
|
et − 1 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
14. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида
dx |
= а11х1 |
+ а12 х2 |
+ + а1n xn + f1 (t), |
|||||
|
1 |
|||||||
dt |
||||||||
|
|
|
|
|||||
dx2 |
= а21х1 |
+ а22 х2 |
+ + а2n хn + f2 (t), |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||
dt |
|
|
|
|||||
...................................................... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
= an1x1 |
+ an2 x2 |
+ + ann xn + fn (t), |
|||||
|
|
n |
||||||
|
|
|
||||||
dt |
|
|
|
где коэффициенты aij – постоянные; а fi(t) – непрерывные на некото- ром интервале функции.
Данную систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме
X ′(t) = AX (t) + F(t) ,
где
x1 (t) |
x1′(t) |
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
||||||
x (t) |
|
x′ |
(t) |
|
a |
a |
... |
a |
|
, |
||
X (t) = |
2 |
|
, X ′(t) = |
2 |
|
|
, A = 21 |
22 |
... |
2n |
||
|
|
|
|
|
|
|
... ... |
... |
|
|||
x (t) |
|
x′ |
(t) |
|
a |
a |
... |
a |
|
|
||
|
n |
|
|
n |
|
|
n1 |
n2 |
|
|
nn |
|
|
f (t) |
|
|
1 |
|
F(t) = |
f2 (t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
fn (t) |
Линейные однородные системы
Линейной однородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется система вида
156
dx |
= а11х1 |
+ а12 х2 + + а1n xn , |
|||
|
1 |
||||
dt |
|||||
|
|
|
|||
dx2 |
= а21х1 |
+ а22 х2 + + а2n хn , |
|||
|
|
|
|||
|
|
||||
dt |
|
|
................................................
dx |
= an1x1 + an2 x2 + + ann xn , |
|
|
n |
|
|
||
dt |
|
или в матричной форме
X ′(t) = AX (t) .
Фундаментальной системой решений системы дифференциаль-
ных уравнений называется совокупность n линейно независимых решений X1(t), X2(t), ..., Xn(t), где
|
x |
(t) |
|
|
|
1i |
|
Xi |
(t) = x2i (t) |
||
|
|
|
|
|
|
|
(t) |
|
xni |
.
Если X1(t), X2(t), ..., Xn(t) – фундаментальная система решений, то общее решение однородной системы имеет вид
X(t) = с1 X1(t) + с2 X2(t)+ ... +сn Xn(t),
где с1, с2,…, сn – произвольные постоянные.
Чтобы решить линейную однородную систему дифференциаль- ных уравнений с постоянными коэффициентами, можно свести эту систему к одному дифференциальному уравнению n-го порядка, а также для нахождения фундаментальной системы решений можно использовать методы линейной алгебры.
Напомним некоторые понятия линейной алгебры. Ненулевой век- тор xλ называется собственным вектором линейного оператора A,
если
A(xλ ) = λxλ .
Число λ − собственное значение линейного оператора A, отве- чающее собственному вектору xλ
157

Число λ является собственным значением линейного оператора А тогда и только тогда, когда λ – корень уравнения det(A – λE) = 0. Это уравнение называется характеристическим и записывается в виде
a11 − λ |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|||||
a21 |
a22 − λ |
... |
a2n |
= 0 . |
|
... |
... |
... |
... |
||
|
|||||
an1 |
an2 |
... |
ann − λ |
|
Для решения системы дифференциальных уравнений X ′(t) = AX (t)
из характеристического уравнения det(A – λE) = 0 находят корни λ1, λ2, …, λn, а затем для каждого корня λi (с учетом кратности) опреде- ляется соответствующее ему частное решение Xλk (t) . Общее реше-
ние системы имеет вид
X (t) = c1 Xλ1 (t) + c2 Xλ2 (t) + ... + cn Xλn (t) .
При этом возможны следующие случаи:
1) λk – действительный корень кратности 1. Тогда
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
1k |
|
X |
λk |
(t) = Y eλk t |
= y2k eλk t , |
||
|
k |
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ynk |
где Yk – собственный вектор линейного оператора A, соответствую- щий собственному значению λk.
2) λk – комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характери- стического уравнения будет также сопряженное с λk число λk . Вме-
сто комплексных частных решений Xλk (t) = Yk eλk t и Xλk (t) = Yk eλk t ,
где Yk – собственный вектор линейного оператора A, соответствую- щий собственному значению λk, необходимо взять действительные частные решения X1k (t) = ReYk eλk t , X2k (t) = ImYk eλk t .
3) λk – действительный корень кратности r. Тогда соответствую- щее этому собственному значению частное решение системы ищем в виде вектора
158

|
|
|
|
α11 |
+ α12t + ... + α1rt |
r −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
|
(t) = |
|
α21 |
+ α22t + ... + α2rtr −1 |
|
e |
λk t |
, |
||
λk |
|
|
... |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r −1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
αn1 |
+ αn2t + ... + αnrt |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где коэффициенты αij находим из системы линейных уравнений, ко- торая получается в результате подстановки вектора Xλk (t) в исход-
ную систему после приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях t.
Пример 14.1. Решить задачу Коши системы дифференциальных
|
dx |
|
= 2x + 3y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
уравнений |
dt |
|
x(0) = 3, y(0) = 0. |
|
|
dy |
|
= 6x − y; |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
Решение
Запишем матрицу коэффициентов системы
2 |
3 |
|
A = |
6 |
. |
|
−1 |
Найдем ее собственные значения и собственные векторы. Соста- вим характеристическое уравнение:
2 − λ |
3 |
|
= 0 (2 − λ)(−1− λ) − 18 = 0; |
|
|||
6 |
−1− λ |
|
−2 + λ − 2λ + λ2 − 18 = 0; λ2 − λ − 20 = 0.
Получили собственные значения λ1 = 5 и λ2 = –4 (действительные несовпадающие). Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям λ1 = 5 и λ2 = –4. Для этого необходимо ре- шить однородные системы
|
|
|
2 − λ |
ι |
3 |
y |
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 |
|
1 |
|
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1− λι y2 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
При λ1 = 5 получим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
−3 3 |
y1 |
0 |
|
|
−3y1 + 3y2 = 0 y1 |
= y2 |
y1 |
|
= c1 |
1 |
|||||
|
−6 |
|
= |
|
. |
||||||||||
6 |
y2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
1 |
159
При λ2 = –4
6 |
3 y |
|
|
0 |
|
6y1 |
+ 3y2 |
= 0 2y1 = − y2 |
y |
|
= c2 |
|
1 |
|
||
|
6 |
3 |
1 |
|
= |
1 |
|
. |
||||||||
|
y2 |
|
0 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
−2 |
|
Тогда фундаментальная система решений
1 |
|
1 |
|
|||
|
1 |
e5t , |
−2 |
e−4t . |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Следовательно, общее решение системы в векторном виде может быть записано следующим образом:
x |
= c1 |
1 |
|
e5t |
|
y |
|
1 |
т.е.
x = c1e5ty = c1e5t
+ c2 |
|
1 |
|
|
−2 |
e−4t , |
|
|
|
|
+ c2e−4t ,
− 2c2e−4t .
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям x(0) = 3, y(0) = 0. Для этого подставим t = 0, x = 3 и y = 0 в общее решение системы:
3 = c1 + c2 , |
3 = 3c2 , |
c2 = 1, |
||||
|
= c1 |
− 2c2 |
|
= 2c2 |
|
= 2. |
0 |
c1 |
c1 |
Тогда решение задачи Коши
x = 2e5t + e−4t ,y = 2e5t − 2e−4t .
Пример 14.2. Найти общее решение системы дифференциаль-
dx |
|
|
= 2x − y + z, |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|||||
dt |
|
|
|
|||
ных уравнений |
|
dy |
|
= x + 2y − z, |
||
|
|
|||||
dt |
|
|
|
|||
dz |
|
|
= x − y + 2z. |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||
dt |
|
|
|
160