2006-matematicheskiy-analiz-differencial-nye-uravneniya-2mb

0 = c1 + c2 + c3 ,

0 = 2c1 − 2c2 + 2c4 ,0 = 4c1 + 4c2 − 4c3 ,

−8 = 8c1 − 8c2 − 8c4 .

Разделим второе уравнение на 2, третье – на 4, четвертое − на 8:

0 = c1 + c2 + c3 ,0 = c1 − c2 + c4 ,0 = c1 + c2 − c3 ,

−1 = c1 − c2 − c4 .

Из первого уравнения вычтем третье, из второго уравнения вы- чтем четвертое:

Пример 9.6. Найти общее решение дифференциального уравне-

ния y(V ) + 16y′ = 0.

Решение

Составим характеристическое уравнение:

k5 + 16k = 0. k(k4 + 16) = 0.

k1 = 0 или k4 + 16 = 0.

Найдем все значения корня 4 −16 . Запишем подкоренное выра- жение в тригонометрической форме:

111

z = – 16 = 16(cosπ + i sinπ).

Тогда по формуле

Итак,

k1 = 0 – действительный корень кратности 1, ему в общем реше- нии соответствует слагаемое c1e0 x ;

112

10. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-го ПОРЯДКА

Линейным неоднородным дифференциальным уравнения n-го по- рядка называется уравнение вида

Pn (x) y(n) + Pn−1 (x) y(n−1) + Pn−2 (x) y(n− 2) + ... + P0 (x) y = f (x) ,

где Pi(x) и f(x) – непрерывные на интервале (a, b) функции (i = 0, 1, 2,

..., n).

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка имеет вид

у = уо.о + уч.н,

где уо.о – общее решение соответствующего однородного уравнения; уч.н – частное решение неоднородного уравнения.

Если известна фундаментальная система решений y1(x), y2(x),…, yn(x) соответствующего однородного уравнения, то частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных, схематично изложенным ниже.

Пусть общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

yo.o = c1 y1 + c 2 y2 + c3 y3 + ... + cn yn ,

где с1, с2,…, сn – произвольные постоянные.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде

yч.н = c1 (x) y1 + c 2 (x) y2 + c3 (x) y3 + ... + cn (x) yn ,

где с1(x), с2(x),…, сn(x) – некоторые неизвестные функции перемен- ной x. Для их определения составляем систему

113

Заметим, что определитель этой системы − это определитель Вронского фундаментальной системы решений, а значит, он не равен нулю, и данная система имеет единственное решение. Решив эту сис- тему относительно с'1(x), с'2(x),…, с'n(x), получим

dci = ϕi (x), i = 1,2,...,n . dx

Тогда

ci = ∫ ϕi (x)dx, i = 1,2, ...,n .

Пример 10.1. Найти общее решение дифференциального урав-

Так как фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

то общее решение однородного уравнения имеет вид

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

yч.н = с1 (x) sin x + с2 (x) cos x . x x

Функции c1(x) и c2(x) найдем из системы уравнений

114

Тогда

c1 (x) = ∫ cos xdx = sin x + c1; с2 (x) = −∫ sin xdx = cos x + с2 .

При c1 = 0 и c2 = 0 получим частное решение

yч.н = sin2 x + cos2 x = 1 . x x x

Так как у = уо.о + уч.н, то общее решение неоднородного уравнения

115

11. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 2-го ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Пусть дано линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с по- стоянными коэффициентами ay′′ + by′ + cy = f (x) .

Общее решение неоднородного уравнения будет равно сумме об- щего решения однородного уравнения уо.о и частного решения неод- нородного уравнения уч.н:

у = уо.о + уч.н.

Методы нахождения общего решения однородного уравнения были рассмотрены ранее. Для нахождения частного решения неоднородного уравнения можно применить метод вариации произвольных постоян- ных или метод неопределенных коэффициентов (метод подбора).

Метод вариации произвольных постоянных

1. Найдем общее решение соответствующего однородного урав- нения ay′′ + by′ + cy = 0 . Пусть

yo.o = c1 y1 + c2 y2 .

2. Затем, полагая с1 и с2 функциями от х, находим частное реше- ние неоднородного уравнения. Функции с1(x) и с2(x) находим из сис- темы уравнений:

3. Общее решение неоднородного уравнения складывается из об- щего решения однородного уравнения уо.о и частного решения неод- нородного уравнения уч.н:

у = уо.о + уч.н.

Метод неопределенных коэффициентов

В некоторых простейших случаях частное решение неоднородно- го уравнения может быть найдено методом неопределенных коэф-

фициентов.

1. Пусть f (x) = eαx Pn (x), где Pn (x) – многочлен степени n, тогда:

116

–если λ не является корнем характеристического уравнения (aλ2 +

+bλ + c ≠ 0), то частное решение ищем в виде

уч.н = eλxQn(x),

где Qn(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами;

–если λ – корень характеристического уравнения, т.е. aλ2 + bλ + c =

=0, то частное решение ищем в виде

уч.н = eλxQn(x)xr,

где r – кратность корня λ, т.е. r = 1, если λ = k1 ≠ k2 и r = 2, если

λ = k1 = k2;

Qn(х) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами;

2. Пусть f (x) = eαx (Pn (x)cosβx + Qm (x)sinβx) , тогда:

– если α + βi не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

yч.н = eαx (SN (x)cosβx + TN (x)sinβx),

где SN(x) и TN(x) – многочлены степени N = max{n, m} с неопределен- ными коэффициентами;

– если α + βi является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищем в виде

yч.н = xeαx (SN (x)cosβx + TN (x)sinβx),

где TN(х) и SN(x) – многочлены степени N = max{n, m} с неопределен- ными коэффициентами.

Принцип суперпозиции

Пусть дано линейное неоднородное уравнение 2-го порядка с по- стоянными коэффициентами

ay′′ + by′ + cy = f1 (x) + f2 (x) + ... + fk (x).

Если уi (x) – решение уравнения ay′′ + by′ + cy = fi (x), i = 1,2,...,k, то общее решение исходного уравнения

117

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y′′ − 2y′ + y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 − 2k + 1 = 0; (k − 1)2 = 0;

k1,2 = 1.

Получили k1 = k2 = 1 – корни вещественные совпадающие. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид

yо.о = (с1 + с2 x)ex = с1ex + с2 xex .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде

yч.н = с1 (x)ex + с2 (x)xex .

Функции c1(x) и c2(x) найдем из системы уравнений

Разделим первое и второе уравнение на ex:

Из второго уравнения вычтем первое:

118

При c1 = 0 и c2 = 0 получим частное решение

yч.н = − xex + xex ln x .

Так как у = уо.о + уч.н, то общее решение неоднородного уравнения

y = c1ex + c2 xex − xex + xex ln x .

Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее началь- ным условиям y(1) = e и y'(1) = 2e. Найдем производную:

y′ = c1ex + c2ex + c2 xex − ex − xex + ex ln x + ex + xex ln x ; y′ = c1ex + c2ex + c2 xex − xex + ex ln x + xex ln x .

Подставив х = 1, у = е и y′ = 2е в найденное общее решение урав- нения и в производную, получим систему уравнений:

Тогда

y = ex + xex − xex + xex ln x .

Итак, получили решение задачи Коши

y = ex + xex ln x .

Пример 11.2. Найти общее решение уравнения

Решение

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

y′′ + 5y′ + 6y = 0.

Составим характеристическое уравнение:

k 2 + 5k + 6 = 0; k1 = −3, k2 = −2.

119

Так как корни действительные несовпадающие, то общее решение однородного уравнения

yо.о = c1e−3x + c2e−2 x .

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом ва- риации произвольной постоянной. Решение будем искать в виде