Лекция №6

5.3.2. Диагональное соединение горных выработок и его свойства

Диагональным называется соединение выработок, при котором две параллельные выработки соединяются между собой, кроме начального и конечного пунктов, еще одной или несколькими дополнительными выработками называемыми диагоналями. А под диагональю понимается такая ветвь-выработка, направление движения воздуха в которой может измениться на противоположное при изменении аэродинамического сопротитивления других ветвей.

Диагональное соединение бывают простые и сложные. Диагональное соединение с одной диагональю называется простым (рис.5.12), двумя и более сложным (рис.5.13).

При обычном ведении горных работ аэродинамическое сопротивление выработок, может изменяеться до величин в 15-20 раз от первоначального, а при авариях изменения могут быть более значительными. Поэтому в диагоналях может происходить самопроизвольное опрокидывание вентиляционной струи, что не только не желательно, но и может быть причиной аварии.

Относительно просто аналитическими методами рассчитывается лишь простое диагональное соединение.

Расчет простого диагонального соединения

Известны сопротивления ветвей простого диагонально соединения R₁,R₂,R₃,

R₄,R₅, а также общее количество воздуха проходящего через это соединениеQили общая депрессия соединения Н. Необходимо определить количество воздуха во всех ветвях соединенияq₁,q₂,q₃,q₄,q₅ и общее сопротивление соединенияR₀

Для решения поставленной задачи, прежде всего, необходимо определить направление движения воздуха в диагонали 2, 3. В зависимости от величины давления в узлах 2, 3.воздух в диагонали может двигаться в любую сторону или не двигаться совсем. Так если принять, что давление в узлах 2, 3 одинаково то воздух в диагонали не пойдет.

Р₂=Р₃q₅=0 (5.35)

Выразим давление в узлах 2, 3 через давление в узлах 1, 4 и депрессию.

Р₂=Р₁-h_1-2 (5.36)

Р₃=Р₁-h_1-3 (5.37)

Р₂=Р₄ +h_2-4 (5.38)

Р₃=Р₄-h_3-4 (5.39)

Подставляя значения давления из равенств (5.36, 5.39) в равенство (5.35) получим

h_1-2=h_1-3 (5.40)

h_2-4=h_3-4 (5.41)

Выразим депрессии в равенствах (5.40), (5.41) через аэродинамические сопротивления ветвей и потоки воздуха

R₁ q=R₂ q(5.42)

R₃q=R₄q(5.43)

Так как воздух в диагонали не идет q₅=0 тоq₁=q₃, аq₂=q₄тогда разделив равенство (5.42) на равенство (5.43) получим

(5.44)

Равенство (5.44) является условием того, что воздух в диагонали не пойдет.

Допустим, что воздух в диагонали движется от узла 2 к узлу 3. Это условие будет выполняться, если давление в узле 2 будет больше чем давление в узле 3.

Р₂>Р₃ (5.45)

Подставляя значения давлений их равенств (5.37, 5.39) в равенство (5.45) получим

h_1-2<h_1-3 (5.46)

h_2-4>h_3-4 (5.47)

Выразим депрессии в неравенствах (5.46) (5.47) через аэродинамические сопротивления ветвей им потоки воздуха предварительно имея в виду, что Q=q₂+q₃+q₅;q₁=q₃+q₅;q₄=q₂+q₅.

ТогдаR₁*(q₃+q₅)²<R₂*q(5.48)

R₃*q>R₄*(q₂+q₅)² (5.49)

Разделив неравенство (5.48) на неравенство (5.49) получим

<(5.50)

Выражения в скобках неравенства (4.50) больше единицы и их отбрасывание усилит неравенство, тогда условие движения воздуха от узла 2 к узлу 3 будет иметь вид

<(5.51)

Аналогично можно получить, что для случая движения воздуха от узла 3 к узлу 2 должно соблюдаться неравенство

>(5.52)

Таким образом, пользуясь формулами (5.44), (5.51), (5.52) можно определить направление движения воздуха в диагонали.

Воздухораспределение в простом диагональном соединении

Рассмотрим методы определения воздушных потоков в ветвях простого диагонального соединения. Пусть воздух движется в диагонали от узла 2 к узлу 3. Тогда согласно второму закону сетей для контуров 1-2-3-1 и 2-4-3-2 (рис.4.13) можно записать следующие уравнения депрессии

R₁*(q₃+q₅)²+R₅*q-R₂*q=0 (5.53)

R₃*q-R₄*(q₂+q₅)²-R₅*q=0 (5.54)

Уравнения (5.53) (5.54) содержат три неизвестных q₂,q₃,q₅. Разделим оба уравнения наR₅*qи обозначим для сокращения записей

(5.55)

(5.56)

С учетом принятых обозначений равенства (5.53) (5.54) будут иметь вид

(5.57)

(5.58)

Из уравнений (5.57) (5.58) необходимо определить значения XиY. После этого решение продолжается в зависимости оттого, что заданоQили Н.

Если задан общий поток воздуха, то потоки воздуха в ветвях определяются следующим образом. Сложив, левые и правые части равенств (5.55) получим

(5.59)

Для случая, когда воздух движется в диагонали от узла 2 к узлу 3 q₂+q₃+q₅=Qтогда из равенства (5.59) получим

q₅=(5.60),

а из соотношений (5.55) определяем

q₂=q₅*x(5.61)

q₃=q₅*y(5.62)

Потоки воздуха в ветвях R₁иR₄определяем, используя первый закон сетей

q₁=q₃+q₅ (5.63)

q₄=q₂+q₅ (5.64)

Если задана общая депрессия соединения Н, то для определения общего потока и потоков воздуха в ветвях необходимо, прежде всего, определить общее сопротивление диагонального соединения. Это можно сделать на основе использования свойства последовательного соединения горных выработок, согласно которому общую депрессию диагонального соединения можно выразить как сумму депрессии последовательно соединенных ветвей, т.е.

Н_1-4=h_1-2+h_2-4 (5.65)

Н_1-4=h_1-3+h_3-4 (5.66)

H_1-4=h_1-2+h_2-3+h_3-4 (5.67)

H_1-4=h_1-3-h_2-3+h_2-4 (5.68)

Любое из равенств (5.65-5.68) может быть использовано для расчета общего сопротивления диагонального соединения. Воспользуемся равенством (5.65). Выразим депрессии в этом равенстве через сопротивления и потоки воздуха

R₀*Q=R₁*(q₃+q₅)²+R₃*q(5.69)

Так как Q₀=q₂+q₃+q₅равенство (5.69) будет иметь вид

R₀*(q₂+q₃+q₅)²=R₁*(q₃+q₅)²+R₃*q(5.70)

Разделив равенство (5.70) на qполучим

R₀*(x+y+1)²=R₁*(1+y)²+R₃*y² (5.71)

Из равенства (5.71) определяем общее сопротивление диагонального соединения

R₀=(5.72)

Определив R₀, подсчитываем общий расход воздуха в сети как:

Q₀=(5.73)

Дальнейшее решение задачи уже известно.

Все формулы данного подраздела справедливы только при той нумерации ветвей соединения, какая принята на рис.5.14. Если при определении направления потока в диагонали окажется, что он следует от узла 3 к узлу 2 (справа налево), то, чтобы не менять расчетных формул, нужно повернуть чертеж на 180⁰относительно продольной оси и обозначить номера ветвей так, как это показано на рис.5.15.

Таким образом, после определения значений X и Y из системы уравнений (5.57), (5.58) расчет распределения воздуха в простом диагональном соединении выполняется по элементарным формулам.

Рассмотрим способы решения этой системы. Мы имеем два квадратных уравнения, которые всегда могут быть сведены к одному уравнению 4-й степени, точное решение которого в радикалах возможно, но чрезвычайно громоздко и трудоемко. Поэтому в данном случае предпочтительнее прибли-

женное решение. В литературе известно два довольно простых способа приближенного решения, примерно равных по трудности и точности:

1-спосорб последовательных приближений;

2-графический способ.

Способ последовательных приближений

Уравнения (5.57), (5.58) являются уравнениями двух гипербол. Уравнение (5.57) описывает гиперболу с действительной полуосью «b» параллельной оси «x» и центром, смещенным на –1 по оси «y» (рис.5.16).

(5.57)

Уравнение (5.58) описывает гиперболу с действительной полуосью «С» параллельной оси «Y» и центром, смещенным на –1 по оси «X»

(5.58)

Координаты точки пересечения этих гипербол являются корнями системы (5.57) (5.58). Решая эту систему методом последовательных приближений, задаемся первоначальным значением Х=Х0 и подставляя его в уравнение (5.58), находим приближенное значение Y=Y1. Подставляя значение Y1 в уравнение (5.57), находим более точное значение Х=Х1, которое в свою очередь подставляем в уравнение (5.58), определяя более точное значение Y=Y2. Эта операция повторяется до совпадения двух последующих значений с требуемой степенью точности.

На рис.4.15 стрелками показана схема сходимости к точному корню системы. Из уравнений (5.57) (5.58) и рис. 5.16 видно, что имеет смысл принимать первоначальное значение Х₀>b, аY₀>c, что избавит от лишних вычислений.

Графический метод

Систему уравнений (5.57) (5.58) можно решить графически. Для этого, задаваясь произвольным значением «Y» (например 1,2,3 и т. д.) и подставляя его в равенство (5.57) находим значение «Х». По полученным данным строим гиперболу, описываемую уравнением (5.57).

Аналогично задаваясь произвольным значением «х» и подставляя его в уравнение (5.58) получаем значение «y» и строим гиперболу, описываемую уравнением (5.58). Координаты точки пересечения этих графиков и дадут решение системы.

Пример расчета

Заданы сопротивления ветвей простого диагонального соединения и общая депрессия соединения. Определить, расходы воздуха во всех ветвях соединения и сделать проверку полученного результата, используя второй закон расчета вентиляционных сетей

ДАНО:

R₁=0.8km;R₂=0.12km;R₃=0.2km;R₄=0.36km;R₅=0.45kmH=300 кг/м²

Определить; Q,q₁,q_2,q₃,q_4,q₅

Решение задачи

Определим направление движения воздуха в диагонали 2-3.

В нашем примере R₁/R₃=0.8/0.2=4.0, аR₂/R₄=0.12/0.36=0.33, следовательно

>и воздух в диагонали будет двигаться от узла 3 к узлу 2. В этом случае, необходимо изменить обозначения сопротивлений ветвей диагональногосоединения, так как показано на (рис.5.15).

Вычислим по равенствам (5.56) значения вспомогательных величин a,b,c,d.

a==1.936 b==0.75 c==1.12 d==1.5

С учетом полученных значений вспомогательных величин равенства (4.57) (4.58) можно записать в виде

x=0.75(5.74)

y=1.12(5.75)

Систему уравнений (5.74) (5.75) решаем методом последовательных приближений. Задаемся первоначальным значением x=x₀=1.5 и из уравнения (5.75) определяем значениеy₁=2.17. По уравнению (5.74) определяем значениеx₁=1.44 и т. д.y₂=2.14,x₂=1.43,y₃=2.13. Дальнейшие вычисления не имеют смысла. Окончательно принимаемx=1.43,y=2.13

Так как, по условию задачи задана общая депрессия соединения, то для определения общего расхода воздуха и потоков воздуха в ветвях необходимо определить, общее сопротивление диагонального соединения по формуле (5.72)

R₀=km

Определим общий расход воздуха в сети по формуле (5.73)

Q₀==47.1 м³/с

Определяем поток воздуха в диагонали по формуле (5.60), а потоки воздуха в остальных ветвях по формулам (5.61-5.64)

q₅=м³/с

q₂=q_5*x=10.33*1.43=14.77 м³/с

q₃=q₅*y=10.33*2.13=22.0 м³/с

q₁=q₃+q₅=22.0+10.33=32.33 м³/с

q₄=q₂+q₅=14.77+10.33= 25.1 м³/с

Проверяем правильность полученного распределения воздуха, используя второй закон расчета вентиляционных сетей.

Для контура 1-2-3-1 должно выполнятся равенство (5.53), а для контура 2-4-3-2 равенство (5.54)

0.8*14.77^2- 0.45*10.33²-0.12*32.33²=0,07=0

0.2*25.1²- 0.36*22.0²+0.45*10.33²=-0,2=0

Незначительная невязка по депрессии связана с округлениями при вычислениях.