Rybleva_teoria veroatnosti_2014

Решение: В данном случае событие A – выпадение «пятерки» в одном испытании, вероятность этого события равна p 61 ; событие A -

непоявление «пятерки», вероятность такого события равна q 56 .

Следовательно, вероятность появления «пятерки» в серии из 10 бросков ровно 3 раза по формуле Бернулли будет:

■

Схема Бернулли описывает закономерности, характерные для экспериментов, удовлетворяющих следующим условиям:

1)вероятность появления события в одном испытании p – постоянна;

2)число испытаний n – фиксировано;

3)испытания проводятся последовательно, и результат каждого из них

не зависит от результатов предыдущих испытаний.

Значение Pn k можно находить с помощью статистической

функции БИНОМРАСП(k, n, p, L), которая возвращает отдельное значение биномиального распределения. Параметр L – это логическое значение, которое принимает значения «ложь» (0) или «истина» (1). Для определения вероятности того, что интересующее нас событие появится ровно k раз в n опытах, параметру L присваивают значение 0.

В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А менее k раз (X<k), более k раз (X>k), не менее k раз (X≥k), не более k раз (X≤k). В этих случаях могут быть использованы формулы:

Pn X k Pn 0 Pn 1 ...Pn k - 1 ,

Pn X k Pn k 1 Pn k 2 ... Pn n , Pn X k Pn k Pn k 1 ... Pn n ,

Pn X k Pn 0 Pn 1 ...Pn k .

61

Пример 6.2 Каждый пятый клиент банка приходит в банк брать проценты с вклада. Сейчас в банке ожидают своей очереди обслуживания шесть человек. Найти вероятность того, что из них будут брать проценты не более двух человек.

Решение: Условие задачи можно переформулировать следующим образом: производится 6 независимых испытаний (будем считать, что каждый клиент берет или не берет проценты с вклада независимо от других вкладчиков), вероятность появления события в одном опыте

p 51 0,2 . Требуется найти вероятность того, что событие появится не

более двух раз, т.е. вероятность:

P6 X 2 P6 0 P6 1 P6 2 0,86 6·0,2·0,85 15·0,22·0,84 = =0,262+0,393+0,246=0,901.

■

Наивероятнейшее число появлений события в n независимых испытаниях определяют по формуле:

np - q k0 np p .

Отметим, что если число:

1)np-q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0 ;

2)np-q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0 +1;

3)np – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.

Пример 6.3 Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которые товаровед признает годными к продаже.

Решение: По условию n=24, p=0,6 и q=0,4.

Подставляя исходные данные в двойное неравенство для определения наивероятнейшего числа, получим:

62

24·0,6-0,4≤ k0 ≤24·0,6+0,6 или 14≤ k0 ≤15, т.е. наивероятнейших чисел два: 14 и 15.

■

Пример 6.4 Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?

Решение: По условию k0 =25, p=0,4, q=0,6. Тогда np=0,4n, получим следующее неравенство для определения числа испытаний:

0,4n - 0,6 25 0,4n 0,4 . Решением левого неравенства будет: n 64

, решением правого неравенства: n 61,5 . Так как n, по условию,

целое, то искомое число испытаний должно удовлетворять неравенству:

62 n 64 .

■

Пример 6.5 Два равносильных противника играют в шахматы.

1) Что вероятнее: а) выиграть 3 партии из 4 или 5 из 8? б) не менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8? Ничейный исход партии исключен. 2) Найти наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных партий.

Решение: Так как противники равносильные, то вероятность выигрыша и проигрыша каждой партии одинаковы и равны p=q=0,5.

как 0,25>0,21875, то вероятнее выиграть три партии из четырех. б) вероятность выиграть не менее трех партий из четырех:

P4 X 3 P4 3 P4 4 41 161 165 =0,3125,

а вероятность выиграть не менее пяти из восьми:

63

P8 X 5 P8 5 P8 6 P8 7 P8 8 25693 0,36328 .

Следовательно, вероятнее выиграть не менее пяти из восьми, так как

P4 X 3 0,3125 0,36328 P8 X 5 .

2). В данном случае число испытаний n=2N, тогда np=2N·1/2=N – целое число, поэтому наивероятнейшее число k0 выигранных партий будет равно N.

■

Пример 6.6 Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение: Каждая точка попадает на какую-либо часть отрезка (АС или СВ) независимо от того, куда попали другие точки. Поэтому задачу можно переформулировать следующим образом: производится 4 независимых испытания, в каждом из которых событие (например, попадание точки на отрезок АС) появляется с вероятностью p=2/3 и не появляется с вероятностью q=1/3. Тогда вероятность того, что ровно 2

■

Количество n опытов, которые нужно произвести для того, чтобы с вероятностью не меньше P можно было утверждать, что данное событие произойдѐт по крайней мере один раз, находится по формуле:

ln 1 - P n ln 1 - p ,

где p – вероятность появления этого события в каждом опыте.

64

Пример 6.7 Большая партия изделий содержит 1% брака. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность обнаружить в ней хотя бы одно бракованное изделие была не меньше 0,95?

■

Пример 6.8 Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа для каждого из которых равна p=0,0005. Какова вероятность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?

Решение: Обозначим через А – искомое событие (отказ аппаратуры означает отказ хотя бы одного из элементов: либо откажет один элемент, либо два, … , либо откажут все элементы). Тогда A - все элементы исправны (аппаратура работает). В данном случае вероятность события А проще вычислить через вероятность противоположного события: P A 1- P A . Так как работу всей системы можно рассматривать как эксперимент, состоящий из 2000 независимых испытаний, то вероятность безотказной работы аппаратуры равна:

P A P2000 0 C20000 ·0,0005 0·0,9995 2000 0,9995 2000≈0,368.

Следовательно, искомая вероятность P A 1- P A =1-0,368=0,632.

■

Понятно, что пользоваться формулой Бернулли при достаточно больших значениях n и малых значениях p при выполнении расчетов «вручную» трудоемко, поэтому возникает желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления Pn k при больших n. Такие формулы, называемые асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа.

65

Теорема. Если вероятность события p наступления события А в каждом

испытании очень мала: p 0 при неограниченном увеличении числа n

испытаний (такие события называются редкими), причем произведение np стремится к постоянному числу λ, то вероятность Pn k того, что событие А появится k раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

Эта формула называется формулой Пуассона.

Обычно формулой Пуассона пользуются тогда, когда выполняются следующие условия: p 0,1 ; np 20 ; npq 9 .

Для примера 6.8 имеем: p=0,0005<0,1; np=2000·0,0005=1<20; npq=20·0,9995<9; λ=1 и по формуле Пуассона вероятность безотказной

работы аппаратуры равна: P A 10e-1 1 0,368 .

0! e

Значения функции Пуассона Pk λ приведены в Приложении 3.

Приведѐм значения функции Пуассона для небольших значений λ:

66

Пример 6.9 При изготовлении 1000 метров ткани было отмечено 50 обрывов нити. Какова вероятность того, что в наугад отмеряемом метре ткани окажется менее двух обрывов нити?

Решение: Обрыв нити может с равной вероятностью находиться в любом месте произведенной ткани, т.е. вероятность обрыва нити на данном метре ткани равна 0,001. Задачу можно переформулировать следующим образом: производится 50 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна p=0,001, требуется найти вероятность того, что событие произойдет менее двух раз: P50 X 2 P50 0 P50 1 . Так как n – велико, а p – мало, то вероятности будем рассчитывать по формуле Пуассона (λ=

50·0,001 =0,05):

P50 X 2 ≈ 0,050! 0 e-0,05 0,051! e-0,05 1,05 ·0,951 0,9988 .

■

Пример 6.10 В тесто засыпают некоторое количество изюма, затем всю массу тщательно перемешивают, разрезают на равные доли и выпекают из них булочки с изюмом. Пусть N – число всех булочек, а n – количество всех изюминок. Требуется оценить вероятность того, что в случайно выбранной булке окажется ровно k изюминок.

Решение: Рассматривая попадание каждой изюминки в тесто как отдельный опыт, можно утверждать, что производится n опытов. Тогда вероятность попадания одной изюминки в одну выбранную булочку будет равна: p=1/N (условие, что тесто с изюмом тщательно перемешивается, означает для каждой изюминки одинаковую вероятность попадания в любую из булочек). Если считать, что булочек выпекается достаточно много, то можно считать p весьма малым

числом. Тогда λ np Nn , следовательно вероятность того, что в

67

формулу Муавра-Лапласа. Для этого сначала определим аргумент

■

Пример 6.12 На некотором предприятии вероятность брака равна 0,02. Готовая продукция в количестве 500 штук подвергается проверке. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 10 бракованных.

Решение: Рассматривая проверку каждого изделия как отдельный опыт, можно сказать, что производится 500 независимых испытаний, в каждом из которых событие (изделие оказалось бракованным) наступает с вероятностью p=0,02<0,1, np=10<20, npq=10·0,98=9,8>9.

Следовательно, в данном случае искомую вероятность лучше рассчитывать по формуле Муавра-Лапласа. Для этого определим

значение для данного аргумента: φ(0)=0,3989. Тогда вероятность равна:

P500 10 0,39899,8 0,127 .

■

Задачи для самостоятельного решения:

6.1Найти вероятности числа выпадений гербов при бросании трѐх монет.

6.2Найти вероятность числа появлений «шестерки» при бросании трѐх костей.

69

6.3В ящике находятся 6 белых и 9 красных шаров. Из ящика извлекают шар, фиксируют его цвет, после чего возвращают шар обратно в ящик. Указанный опыт повторяют трижды. Какова вероятность того, что из трех извлеченных при этом шаров ровно два окажутся белыми?

6.4В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано:

а) менее 2 пакетов; б) не более 2; в) хотя бы 2; г) наивероятнейшее число пакетов.

6.5Отрезок разделен на 4 равные части. На отрезок брошено наудачу 8 точек. Найти вероятность того, что на каждую из четырех

частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

6.6Проблема Джона Смита. Одинаковы ли шансы на успех у трех человек: для первого – получить хотя бы одну «6» при 6 бросках игральной кости; для второго – получить хотя бы две «6» при 12 бросках; для третьего – хотя бы три «6» при 18 бросках?

6.7(Задача Банаха) Некто носит с собой две коробки спичек. Время от времени он вынимает спичку из наугад выбранной коробки. В очередной раз выбранная коробка оказывается пустой. Чему равна вероятность того, что в другой коробке в этот момент осталось k спичек?

6.8Два человека подбросили по 3 монеты каждый. Какова вероятность того, что у них будет одинаковое количество гербов?

6.9Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью, не меньшей 0,95?

70