Rybleva_teoria veroatnosti_2014

достаточно мало и при этом n∙p=50>10, то для оценки вероятности можно использовать интегральную теорему Муавра – Лапласа:

Учитывая заданную надежность имеем:

P10000 0 ≤ m ≤ n0 Ф x2 - Ф x1 0,95

Здесь m – число клиентов, которым будет выплачена страховая сумма;

может рассчитывать с надежностью 0,95 на прибыль в размере:

π=50000·(100-61,6)=1920000 руб.

■

Задачи для самостоятельного решения:

6.1Среднее количество вызовов, поступающих в отделения милиции города в течение суток, равно 300. Оцените вероятность того, что в течение следующих суток число вызовов: а) превысит 400; б) будет не более 500.

6.2Среднее изменение курса акции компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оцените вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%.

6.3При изготовлении отливок получается 20% дефектных. Сколько необходимо запланировать отливок к изготовлению, чтобы с вероятностью 0,95 получилось не менее 50 качественных?

141

6.4В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0,98 менее чем на 0,1 (по абсолютной величине).

6.5Банкомат выдает стандартные суммы в 100 руб., 500 руб. и 1000 руб., причем, первые составляют 50%, последние 10% всех выдач. В сутки банкомат осуществляет примерно 100 выдач. Сколько рублей надо заложить в банкомат утром, чтобы до следующего утра их хватило с вероятностью, не меньшей 0,9?

6.6Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найдите границы, в которых с вероятностью, не меньшей 0,79, находится доля заправившихся в течение 2 часов легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.

6.7В районе 10 магазинов, примерно одинаковых. Суммарная суточная выручка в них равна в среднем 10 млн. руб. и в 90% всех случаев отличается от 10 млн. руб. не более чем на 1 млн. руб. Найдите вероятности того, что очередная суточная суммарная выручка: а) превысит 12 млн. руб.; б) окажется меньше 9 млн. руб.; в) окажется в пределах от 8 до 12 млн. руб.

6.8Станок для изготовления ДСП разрегулирован и выпускает плиты, толщина которых нормально распределена N(22; 1) вместо N(20; 1). Каков процент перерасхода сырья?

6.9Инвестор покупает ценные бумаги за счѐт займа, взятого с процентной ставкой r под залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X - случайная величина с математическим ожиданием

a>0 и дисперсией σ2 . Какова вероятность того, что инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости?

142

(*Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность события

X r ).

Ответы:

6.1 а) 0,75 ; б) 0,4 . 6.2 0,1. 6.3 70 . 6.4 0,996 .

6.555 шт. по 100 руб., 44 шт. по 500 руб. и 11 шт. по 1000 руб.

6.60,2 p 0,4 .

Лабораторный практикум по теме: «Нормальное распределение»

Ниже X ~N a,σ означает, что случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и стандартным отклонением σ. Будем рассматривать продукцию двух предприятий – цыплят, выращенных на птицефабриках Каскаринской и Боровской. Обозначим через X - вес цыпленка, «изготовленного» на Каскаринской птицефабрике, через Y - вес цыпленка с Боровской птицефабрики. Предположим, что X ~ N 1,8;0,5 , Y ~ N 1,5;0,3 .

1.Для каждой птицефабрики найдите вероятности событий:

А – «вес цыпленка равен 1,7 кг.»; В – «вес цыпленка менее 1,7 кг.»; С – «вес цыпленка более 2 кг.»; D – «вес цыпленка от 1 кг до 2 кг».

2.Считается, что идеальный вес цыпленка совпадает с ожидаемым средним a. Для каждой птицефабрики найдите вероятности того, что фактический вес отклонится по абсолютной величине от a: А – «более чем на 0,3 кг.»; В – «более чем на 0,7 кг.»; С – «менее, чем на 0,2 кг.»; D

– «менее, чем на 1 кг.».

3.Будем считать дефектными цыплят, вес которых менее

0,5 кг. Какова доля брака на каждой птицефабрике? Как, не вычисляя долю брака, сравнить какое из двух распределений N a1,σ1 или

N a2 ,σ2 «лучше» в указанном смысле?

143

4.Каждая птицефабрика приняла решение снизить долю брака до 1%. Как это сделать:

а) за счет математического ожидания a, сохраняя стандарт σ; б) за счет стандартного отклонения σ, сохраняя a?

5.Для повышения однородности продукции каждая птицефабрика приняла решение сортировать цыплят на три равные в среднем по численности группы: «маленькие» цыплята, «средние», «большие». Определите правило сортировки для каждой птицефабрики.

6.Рассмотрим цыпленка №1 весом 0,5 кг и цыпленка №2 весом 3 кг. Определите для каждой птицефабрики:

а) является ли цыпленок №1 «недоростком»? б) является ли цыпленок №2 «переростком»?

в) какой из двух цыплят более аномален для каждой птицефабрики и во сколько раз?

г) какая из птицефабрик более аномальна для цыпленка №1 и цыпленка №2 и во сколько раз?

7.Говорят, что цыплята Каскаринской птицефабрики крупнее цыплят с Боровской птицефабрики. На сколько процентов верно это утверждение?

8.Цыплят отгружают большими партиями. Дефектной считают продукцию весом менее 0,5 кг. От партии проверяют 5 цыплят и партию

принимают, если среди них не более одного дефектного. Будем считать хорошей обычную продукцию, т. е. X ~N 1,8; 0,5 , Y ~N 1,5; 0,3 . Для

плохой продукции математическое ожидание a уменьшено на 0,4 кг. Для каждой птицефабрики определите вероятность α забраковать хорошую продукцию (риск изготовителя) и вероятность β приемки плохой продукции (риск потребителя).

9. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят

144

от среднего ожидаемого их числа не превысит 50 (по абсолютной величине)? Решите задачу с помощью неравенства Чебышева и с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

математическое ожидание и дисперсию; 4) вычислить вероятность попадания в интервал 2; 4 .

12. Две независимые случайные величины распределены нормально: X ~N 4; 1 и Y ~N 5; 2 . Найти вероятность того, что обе случайные величины попадут в интервал 3; 6 .

145

ЧАСТЬ 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Глава 1. Выборочные исследования

1.1. Основные понятия теории выборок

Термин «выборочные исследования» применяют, когда невозможно или экономически нецелесообразно изучить все единицы представляющей интерес совокупности. Приходится знакомиться с частью совокупности – с выборкой, а затем с помощью статистических методов и моделей переносить выводы с выборки на всю совокупность.

В учебных курсах по теории вероятностей и математической статистике рассматривают различные параметрические семейства распределений числовых случайных величин. А именно, изучают семейства нормальных распределений, логарифмически нормальных, экспоненциальных, гамма-распределений, распределений ВейбуллаГнеденко и др. Все они зависят от одного, двух или трех параметров. Поэтому для полного описания распределения достаточно знать или оценить одно, два или три числа, что очень удобно. Поэтому широко развита параметрическая теория математической статистики, в которой предполагается, что распределения результатов наблюдений принадлежат тем или иным параметрическим семействам.

Если же распределение результатов наблюдений неизвестно, то использует непараметрические методы. Формулы для получения доверительных интервалов аналогичны тем, что используются при параметрическом подходе, но вместо квантилей распределения Стьюдента стоят квантили нормального распределения. Как известно, при росте объема выборки квантили распределения Стьюдента сходятся к соответствующим квантилям стандартного нормального распределения, так что при больших объемах выборок оба подхода дают близкие результаты.

146

Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого количественного или качественного признака, характеризующего эти объекты. Обозначим количество всех

совокупностью, а N – объѐмом генеральной совокупности.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной. Совокупность случайно отобранных (реально наблюдаемых) объектов называется выборочной совокупностью или просто выборкой, а еѐ объѐм обозначается n . Выборка должна обладать следующими свойствами:

каждый элемент xi выбран случайно;

все xi имеют одинаковую вероятность попасть в выборку;

n должно быть настолько велико, насколько это позволяет решать задачу с требуемым качеством (выборка должна быть

репрезентативной, представительной).

Взависимости от способа отбора объектов выборки подразделяют на повторные и бесповторные.

Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

На практике применяются различные способы отбора, которые принципиально можно подразделить на два вида:

147

1)отбор, не требующий разделения генеральной совокупности на части: а) простой случайный бесповторный отбор; б) простой случайный повторный отбор;

2)отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части: а) типический отбор; б) механический отбор; в) серийный.

Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности (лотерея, с помощью таблицы случайных чисел). Типическим называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой еѐ «типической» части. Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные способы.

Расположение выборочных наблюдѐнных значений изучаемого признака X в порядке неубывания называется ранжированием. Значение X , соответствующее отдельной группе сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой, а изменение этого значения – варьированием. Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых данных называется частотой и

обозначается mi , отношение mi / n называется относительной частотой и обозначается ωi .

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжированная совокупность вариант xi с соответствующими им частотами или относительными частотами.

Если наблюдаемый случайный признак представляет собой реализацию непрерывной случайной величины или дискретной

148

случайной величины с большим количеством возможных значений, то для построения вариационного ряда используют интервальный ряд распределения. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту попадания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная последовательность интервалов варьирования случайного признака с соответствующими частотами или относительными частотами попаданий в каждый из них.

Пример 1.1. В супермаркете фиксировали, сколько покупателей обслуживали в кассе за один час (с 10 часов до 11 в рабочие дни). Наблюдения в течение 30 часов дали следующие результаты:

70, 75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100, 70, 75, 60, 100, 100, 120, 70, 75, 70, 120, 65, 70, 75, 70, 100, 100.

Обработайте результаты наблюдений и постройте вариационный ряд. Решение: Число покупателей, обслуживаемых в кассе за час, представляет собой реализацию дискретной случайной величины, обозначим еѐ X. Полученные данные являются выборкой из 30 наблюдений. Составим ранжированный ряд распределения:

60, 60, 60, 65, 65, 65, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120.

Для каждой группы подсчитаем частоту значений варианты и соответствующую относительную частоту. Результаты запишем в таблицу, которая называется дискретным вариационным рядом.

■

149