Rybleva_teoria veroatnosti_2014

Случайная величина Y имеет биномиальный закон распределения с параметрами n=2, p=0,7. Составьте закон распределения их суммы и найдите еѐ среднее ожидаемое значение.

2.10 Случайная величина X распределена равномерно на множестве {1, 5, 7} с вероятностью p=1/3, а случайная величина Y имеет геометрическое распределение с параметрами n=3, p=0,7. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение случайной

величины Z 2X - 13 Y 5 .

2.11 Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех, либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составьте ряд распределения числа заданных студенту вопросов, вычислите M(X).

Ответы:

2.1распределение равномерное, M(X)=5,5. 2.2 распределение

101

2.3. Непрерывные случайные величины: способы задания, числовые характеристики и их свойства

Множество значений непрерывной случайной величины представляет собой некоторый промежуток: конечный или бесконечный, т.е. является несчетным множеством. Для непрерывной случайной величины X реальный смысл имеет только такое событие, как попадание в интервал, а не попадание в отдельную точку. Поэтому закон распределения вероятностей величины X должен позволять находить вероятности P x1 X x2 попадания ее значений в любой интервал (x1, x2 ) .

Случайная величина X называется абсолютно непрерывной (далее для краткости будем называть их просто непрерывными), если существует такая функция p x 0 , что для любого возможного

значения случайной величины ее функция распределения может быть

-

Функция p x называется плотностью распределения

вероятностей и определяет закон распределения для непрерывной случайной величины. График функции плотности распределения называется кривой распределения.

Свойства плотности распределения:

1)Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна определенному интегралу от ее плотности:

P x1 X x2 x2 p x dx .

x1

2)Суммарная площадь под кривой распределения равна единице:

p x dx 1.

-

102

3)В точках непрерывности: p x F (x) .

4)P X x 0 .

Следствие. Для непрерывной случайной величины X:

P x1 X x2 P x1 X x2 P x1 X x2 P x1 X x2 .

Понятие математического ожидания M X и дисперсии D X ,

определенные для дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

Для получения формул математического ожидания и дисперсии

меняющимся x, а вероятность pi - элементом вероятности p x dx .

В результате получим следующие формулы:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные выше для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Начальным моментом k-го порядка, который обозначается как

γk , называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины: γk M X k .

103

Например, первый начальный момент – это математическое ожидание: γ1 M X , а дисперсия равна D X γ2 - γ12 .

Центральным моментом k-го порядка, который обозначается как μk , называется математическое ожидание k-ой степени отклонения

которому соответствует наибольшая вероятность pi . Распределения,

имеющие одну моду, называются одномодальными. Встречаются и многомодальные распределения.

Функция распределения случайной величины X любой точке x p

ставит в соответствие вероятность p F xp P X xp . Иногда

возникает обратная задача: по заданному значению p найти такое x p ,

чтобы F xp p . Такая точка x p называется квантилью уровня p .

Квантиль уровня p 1/2 называется медианой распределения.

Медиана случайной величины X обозначается Me X . Для непрерывных случайных величин медиана – это граница, которая делит

104

площадь криволинейной трапеции под кривой распределения на две равные части.

Пример 3.1 Кривая распределения случайной величины X на отрез-

ке [ 0; 4 ] имеет вид равнобедренного треугольника, вне этого отрезка p x 0. Найдите для данной случайной величины: а) функцию плотности распределения p x ; б) математическое ожидание и стандартное отклонение; в) функцию распределения F x ; г) ве-

роятности событий P X 1 , P 1 X 3 и P X 3 ; д) моду, медиану и квантили x0,1 , x0,9 .

Решение: а) Сначала найдем высоту равнобедренного треугольника h. По свойству 2 функции плотности площадь криволинейной трапеции (в

p x h

0 2 4 x Рис. 8

Так как распределение симметрично относительно прямой x 2 и на каждом из отрезков [ 0; 2] и [ 2; 4] функция плотности распределения представляет собой прямые p1 x kx b и p2 x cx d , то имеем:

105

Этот же результат можно было получить иначе: достаточно посмотреть на график функции плотности распределения – понятно, что среднее значение лежит посередине (в силу симметрии кривой) отрезка

x

определяется по функции плотности: F x p t dt . Найдем ее для

106

Рис. 9

значение функция распределения принимает на отрезке [ 0; 2], где она

Квантиль уровня 0,9 в силу симметричности распределения находится на таком же расстоянии от правой точки x 4 , на каком расстоянии находится квантиль уровня 0,1 от левой точки x 0 , значит получим: x0,9 4 - 0,894 3,106 .

■

Пример 3.2 Какие из перечисленных функций могут быть функциями плотности распределения вероятности?

107

Отсюда a 1/ 2.

в) Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал (по свойству 2 функции распределения) равна:

P π/4 X 3π/4 F(34π ) - F( π4 ) 1- 21 sin 0 - 21 21 .

■

Задачи для самостоятельного решения:

3.1Кривая распределения случайной величины X на отрезке

[ 0; 4] имеет вид перевернутого равнобедренного треугольника, вне этого отрезка p x 0 . Найдите для данной случайной величины:

3.2 Какие из перечисленных ниже функций являются функциями распределения:

109

Для тех функций, которые являются плотностью, найдите соответствующую функцию распределения.

3.4 Функция распределения годового дохода лица, облагаемого налогом, имеет вид (распределение Парето):

Коши). Найдите: а) коэффициент c и функцию распределения F x ; б)

вероятность P X 1 ; в) математическое ожидание, моду и медиану данной случайной величины.

плотность p x .

3.7Случайная величина X задана плотностью вероятности

Ответы:

3.1 p(x)=-x/4+1/2 при 0≤x≤2, p(x)=x/4-1/2 при 2<x≤4, M(X)=2.

110