Упражнение 2. Исследование поля цилиндрического конденсатора.

При помощи электролитической ванны можно исследовать поля, обладающие осевой симметрией, т.е. поля, не зависящие от угловой координаты в цилиндрической системе координат (r,,Z).

Рис.2.

Ёмкость цилиндрического конденсатора, пропорциональная длине конденсатора, диэлектрической проницаемости среды, заполняющей конденсатор, а также зависит от отношения радиусов цилиндров, возрастая с уменьшением этого отношения (рис.2):

.

Из формулы ёмкости цилиндрического конденсатора можно получить выражение для разности потенциалов между его обкладками:

, (7)

где q=Q/L- заряд, приходящийся на единицу длины цилиндра.

Проверка формулы (7) составляет содержание данного упражнения.

Порядок выполнения.

Расположите два коаксиальных цилиндрических электрода как показано на рис. 3.

Рис.3.

Определите форму эквипотенциальных поверхностей и исследуйте распределение потенциалов вдоль радиуса цилиндра. Сравните найденное распределение потенциалов с теоретической формулой (7).

Сравнение проведите с помощью графиков. Сначала на основе результатов измерений постройте график экспериментальной зависимости U_x=f(R_x), откладывая по оси абсцисс значенияR_xрасстояние от оси цилиндра до той точки поля, где определялся потенциал.

Затем в этих же осях координат постройте теоретический график функции

.

Для того чтобы не определять величину 2q/, масштаб по оси ординат для теоретического графика следует выбрать таким, чтобы для какого-либо одного значенияR_xмасштабные отрезки в относительных единицах разности потенциалов и в вольтах были одинаковыми.

Если формула (7) справедлива, то теоретический и опытный графики функции должны совпасть.

Контрольные вопросы.

1. Какова связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом? Как экспериментально эта связь может быть проверена?

2. Чему равна циркуляция напряженности по любому замкнутому контуру в потенциальном электрическом поле? Как обосновать справедливость соответствующего уравнения?

3. Сформулируйте закон Кулона и теорему Гаусса.

4. Обоснуйте возможность моделирования электростатического поле в вакууме с помощью слабопроводящей жидкости?

5. Выполняются ли граничные условия на электродах ванны?

6. Почему необходимо, чтобы электроды касались дна ванны и выступали над поверхностью жидкости?

7. Чему равна напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной цилиндрической поверхностью?

8. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора.

Лабораторная работа №3

Изучение вынужденных колебаний и явления резонанса в последовательном колебательном контуре

Цельработы:построение резонансных кривых для колебательного контура, определение добротности и её зависимости от параметров контура.

Оборудование:исследуемый контур, набор резисторов, вольтметр переменного тока или осциллограф в качестве измерителя напряжения, генератор сигналов, соединительные проводники и кабели.

Краткая теория

Рис.1. Последовательный колебательный контур.

В работе исследуются вынужденные колебания в колебательном контуре, соединенном с источником электродвижущей силы переменной частоты. В зависимости от того, как источник соединен с колебательным контуром, различаютпоследовательныеипараллельныеколебательные контуры. В данной работе исследуется последовательный колебательный контур (рис.1).

При исследовании вынужденных колебаний большой интерес представляет изучение зависимости интенсивности колебаний от соотношения между частотой внешнего воздействия и собственной частотой незатухающих колебаний в системе.

Вынужденные электромагнитные колебания в контуре могут быть количественно охарактеризованы разными величинами: силой тока; напряжением на конденсаторе; напряжением на катушке индуктивности контура и т.д. Амплитуда каждой из этих величин выражается особой функцией частоты, имеющей характерный максимум при определённом значении частоты _р, называемойрезонанснойчастотой. График такой функции называетсярезонансной кривой(рис.2).

Рис.2. Резонансная кривая (А– относительная амплитуда).

Уравнение для резонансной кривой может быть получено следующим образом.

Запишем, на основании второго закона Кирхгофа, уравнение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре:

, (1)

или

. (2)

где E₀- амплитуда э.д.с. генератора, включенного в контур. Учитывая, что сила тока

, (3)

где q- заряд на конденсаторе, уравнение (2) можно записать в виде:

. (4)

Поделив обе части уравнения (4) на L, можно привести его к стандартному виду уравнения вынужденных колебаний гармонического осциллятора:

,

где – коэффициент затухания, характеризующий потери энергии;– квадрат собственной частоты колебательного контура.

Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка в режиме установившихся вынужденных колебаний будет иметь вид

, (5)

где q­₀– амплитуда заряда конденсатора,­– разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с.E.

Удобнее перейти от выражения для заряда (5) к выражению для тока I, воспользовавшись соотношением (3):

, (6)

где I₀- амплитуда тока,- сдвиг по фазе между током и внешней э.д.с.E:

,. (7)

С учётом этого, можно получить выражения для напряжений на сопротивлении R, ёмкостиCи индуктивностиL:

, (8)

, (9)

, (10)

На основании выражений (8), (9) и (10) можно построить векторную диаграммудля амплитуд напряжений, векторная сумма которых должна быть равна, согласно (1), вектору величинойE₀(рис.2).

Рис.2. Векторная диаграмма для колебательного контура.

Из треугольника OABэтой диаграммы можно получить выражения дляI₀и:

, (11)

. (12)

Как видно из выражения (11), максимальное значение силы тока достигается при = 0. Таким образом,резонансная частота для силы тока равна собственной частоте колебательного контура:

(13)

Очевидно, что для напряжения на сопротивлении U_Rчастота максимальной амплитуды колебаний_рRтакже совпадает с₀. Однако, для напряжений на ёмкости и на индуктивности это не так. Выражения для резонансных частот_рCи_рLможно получить, приравняв нулю первые производные подля соответствующих выражений амплитудU_0CиU_0L из (9) и (10):

,. (14)

Как видно, из формул (14), резонансная частота для напряжения на ёмкости меньше, а для напряжения на индуктивности – больше по сравнению с собственной частотой колебательного контура. Однако, чем меньше коэффициент затухания (т.е., чем меньше потери энергии, обусловленные, в рамках модели, наличием активного сопротивления), тем ближе резонансные частоты_рCи_рLк значению₀. Привсе три резонансные частоты практически одинаковы.

Графики зависимости амплитуд напряжений U_0R,U_0CиU_0Lот частотыпоказаны на рис.3.

Рис.3. Резонансные кривые колебательного контура со следующими параметрами: R= 1 Ом,C= 0,005 Ф, L= 0,02 Гн,E₀= 1 В.

Важным параметром колебательного контура, характеризующим его резонансные свойства, является добротностьQ. Для колебательного контура с малым затуханием () добротность может быть определена как отношение энергииW, запасённой в контуре, к энергииW, теряемой контуром за один период колебаний:

Величина добротности связана с коэффициентом затухания следующим образом:

(15).

Подставляя выражения для ₀и, получим:

. (16)

Выразим отношение амплитуды напряжения на конденсаторе U_0Cк амплитуде внешней э.д.с.E₀на резонансной частоте в случае малого затухания (_рC₀), используя (9) и (11):

(17)

Таким образом, при резонансе в последовательном колебательном контуре амплитуда напряжения на конденсаторе в Q раз превышает амплитуду выходного напряжения генератора. Аналогичный результат можно получить и для амплитуды напряжения на индуктивности. Поэтому резонанс в последовательном колебательном контуре называютрезонансом напряжений.

Добротность контура связана также с ещё одной важной характеристикой резонансной кривой – её шириной. Можно показать, что при малом затухании

, (18)

где _0,7– ширина резонансной кривой на уровне 0,7 (точнее,) от максимума (см. рис. 2). Формула (18) даёт практический способ определения добротности колебательного контура по измеренной резонансной кривой.