4комплексные_числа

z1

a1

b1i,

z1 и z2 -

Комплексно -

z2

a2

b2i.

противоположны,

z 0 0 i 0 -

спряженные:

z1 z2

,

если

ноль,

z 1 0 i 1 -

z1 a bi,

если

z1

a bi,

единица.

z2 a bi .

a a

,

z2

a bi .

1

2

b1 b2 .

Геометрическая интерпретация

Комплексное число z=a+b·i можно изобразить:

y

-

точкой М(a;b)

координатной плоскости;

b

М(a,b)

-

радиус-вектором r=ОМ, проекции

r

которого на координатные оси соответственно:

Ox a,

0

a

x

Oy b;

хОу – комплексная плоскость;

Ох – действительная ось;

arg z,

tg

b

.

a

Главное значение аргумента удовлетворяет условию

―π < φ < π

Формы записи комплексных чисел

Алгебраическая

Тригонометрическая

Показательная

z=a+b·i

z=r(cosφ+i·sinφ)

z= r· еiφ

Формулы перехода.

a= r· cosφ

b = r·sinφ

r

a2 b2 ;

cos

a

;

sin

b

,

a2 b2

a2 b2

r -модуль комплексного числа

z

r a 2 b2 ;

arctg

b

, a 0;

a

φ - аргумент комплексного числа

arctg

b

,

a 0;

b

a

tg

a

b

arctg

,

a 0.

a

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Пусть заданы два комплексных числа: z1

a1

b1i и

z2 a2 b2i , тогда:

y

z1 z2

Сумма

z z1 z2

z2

(a1 a2 ) (b1 b2 )i.

z1

z z1 z2

y

Разность

z 1

z z1

z2

z z1 z2

(a1 a2 ) (b1 b2 ).

z

2

z1 z2

X

z2

Модуль

| z1 z2

|

Изображает расстояние между

разности

точками z1 и

z2 .

(a1

a2 )2

(b1 b2 )2 .

| z z

2

|

1

Произведение

z1 z2

(a1a2

b1b2 )

Выполняют по правилу умножения

z1 z2

(a b

a

2

b ) j.

многочленов, причем i2 1.

1

2

1

Произведение

комплексно-

Произведение комплексно -

спряженных

z1 z1

a

2

b

2

.

спряженных чисел равно сумме

z1

a bi

квадратов действительной и мнимой

части комплексного числа.

z1

a bi

Частное

z1

a1a2

b1b2

Домножают числитель и знаменатель

z2

2

2

z1

a2

b2

на число, комплексно-спряженное к

a2b1

a1b2

z2

i.

знаменателю.

a 2

b

2

2

2

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть заданы два комплексных числа:

z1

r1 (cos 1

i sin 1 ) ,

z2

r2 (cos2

i sin 2 ) .

Произведение

z z1

z2

r1

r2

(cos( 1 2 )

При умножении модули

перемножаются, а аргументы

z z1 z2

i sin( ))

складываются.

1

2

Частное

z

z1

r1

(cos(

)

При делении модули делят,

2

z

z1

z

r

1

2

2

а аргументы отнимают.

z2

i sin( 1

2 ))

При возведении в степень,

z n

z n

r n (cos n i sin n )

модуль возводят в степень, а

аргументы умножают на

показатель степени.

Формула

(cos i sin )n cosn

r 1

Муавра.

i sin n

Корень n-й

Точки, которые

соответствуют разным

степени из

z n

z

значениям корня,

числа z 0

0

2k

2k

размещаются в вершинах

n r

i sin

правильного n - угольника с

cos

0

0

,

z0 r0 (cos 0

0

n

n

центром в точке О и имеют

i sin 0 )

k 0,1,2,...,n 1.

полярные

где z0 zn ,

координаты: (n

, 0

r0

n

) .

Действия над комплексными числами в показательной форме

z

r e j 1

,

z

2

r e j 2

,

e 2,7182818

... иррационал ьное число .

1

1

2

Следствия:

cos

e j

e j

sin

e j

e j

,

.

2

2 j

Произведение

z

= z1 · z2 = r1· r2· ei( 1 2 ) .

z = z1 · z2

Частное

z1

r1

z

z

z

ei ( 1 2 )

.

1

.

z2

r2

z2

Возведение в степень.

zn

r nein .

Извлечение корня n-й степени

ei

2k

n r ein

n

r

n ,

k 0,1,2,..., (n 1).

Im

z

z 2

6

5

1

5

4

- 2

0

Re z

части). z

: z

(4 4i) : ( 2 5i)

4 4i

(4 4i)( 2 5i)

3

2

2 5i

( 2 5i)( 2 5i)

8 8i 20i 20i 2

28 12i

28

12

i .

4 25i 2

29

29

29

Нужно учесть, что произведение двух комплексно-спряженных чисел равно сумме

квадратов

соответствующей

действительности

и

коэффициента

мнимой части, то

есть (a bi) (a bi) a 2 b2 .

Пример 2. Заданы два комплексных числа z

3 3i

, z

5

.

5

i

1

2

3

3

1. Перейти от алгебраической к тригонометрической и показательной формам

комплексного числа;

2. Выполнить следующие действия: 1) z

z

z

: z

; 3) (z )6 , 4) 3

1

2

; 2)

2

z

2

.

1

1

Решение

1.

Алгебраическая форма комплексного числа имеет вид

z a bi ,

(1)

2.

Тригонометрическая – z r (cos i sin ) ,

(2)

3.

Показательная – z r ei .

(3)

b

, åñëè a 0,

arctg

a

b

arctg

, åñëè a 0 è b 0,

(5)

a

b

, åñëè a 0 è b 0,

arctg

a

где a - действительная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа.

Перейдем

от

алгебраической формы комплексного числа z1 3 3i к

тригонометрической и показательной форме.

z 1

Im

z

3