Обратная функция

Если функция у = f (х)является взаимно-однозначным отображением множестваD(f)=Хна множествоD(f)=У, тогда существует обратное отображение множестваYна множествоXпо правилу

у₁- образ элемента х₁, при прямом отображении;

f - прямая функция;

f^-1- обратная функция.

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно биссектрисы І и Ш координатных углов.

Примеры:

1.

2.

Сложная функция

Пусть функция у = f(u) определена на множестве D, а функция u = φ(х) на множестве D₁, причем для любых хD соответствующее значение u = φ(х)D. Тогда на множестве D₁определена функции u =f(φ(х)), которая называетсясложной функциейот х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u = φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у = sin 2х есть суперпозиция двух функция у = sin u и u = 2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

2. Числовые последовательности

Определение.Числовой последовательностью является множество значений функции

у = f (х), определенной на множестве натуральных чисел.

- запись и обозначение последовательностей,- общий член последовательности.

Последовательность {х_n} называетсяограниченной, если существует такое число М > О, что для любого nN выполняется неравенство |х_n| ≤ М

В противном случае последовательность называется неограниченной.

Легко видеть, что последовательности у_n, и u_n, ограничены, а v_nи z_n неограничены.

Последовательность {х_n} называетсявозрастающей(неубывающей), если для любогоnвыполняется неравенство a_n+1> а_n(a_n+1≥ а_n). Аналогично определяетсяубывающая (невозрастающая) последовательность.

Все эти последовательности называются монотоннымипоследовательностями. Последовательности у_n, u_n и v_n, монотонные, а z_{n -}не монотонная.

Если все элементы последовательности {х_n} равны одному и тому же числус, то ее называютпостоянной.

Сходящейся называют последовательность, которая имеет предел.

Пределом последовательности u1,u2,…un,… называют числоа, если для любого положительного ε существует такое натуральное число Nε, зависимое отε, такое что все члены последовательности с номерами n> Nε, удовлетворяют неравенству | un-а|< ε. Записывают

Геометрический смысл предел числовой последовательности: число а является пределом последовательности , если можно указать такой номерN, что все члены последовательности с номерами большими N, находятся в ε - окрестности точки а ε- любое положительное число.

Свойства сходящихся последовательностей

1. Всякая сходящаяся последовательность ограничена и имеет единственный предел. (теорема Вейерштрасса)

2. 

3. 

4. 

3. Предел функции.

Рассмотрим функцию у = f (х), определенную в некоторой окрестности точких₀кроме, возможно, самой этой точки.

Определение. Число называютпределом функции у = f (х),в точке (при ), если для произвольного ε >0, найдется соответствующее нему число δ >0, что для всех х≠х₀, которые удовлетворяют неравенству |х – х₀|< δ,будет выполняться | f (х)-А|< ε.

Записывают =А.

Геометрический смысл предела функции: А =, если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ -окрестность точки х₀, что для всех х≠х₀из этой δ -окрестности соответствующие значения функции f(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у = f(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у = А + ε,

у =А- ε . Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ = δ(ε).