2.4. Упрощенное описание э.Д.С., напряжений и токов гармоническими функциями с постоянными параметрами.

Основным преимуществом такого представления электромагнитного поля является существенное упрощение расчетов электрических цепей, а также возможность графического решения ряда задач. Например, анализ процессов в электрической цепи состоящей из последовательно или параллельно включенных резистора ( R), индуктивности ( L) и емкости (C ), которые описываются в общем случае интегрально-дифференциальными уравнениями, может быть проведен путем достаточно простых построений на комплексной плоскости.

В основе этого широко используемого упрощенного метода анализа электрических цепей положено представление гармонического колебания (э.д.с., напряжения, токов ) в следующем виде:

(2. 22.)

или

, (2.23.)

где A и  ‑ амплитуда и начальная фаза гармонического колебания;

 =2 f- угловая частота колебаний; [ радиан/c ],

f ‑ частота колебаний, [Гц.],

Re{}-символ, означающий, что берется действительная часть,

Im{}-символ, означающий ,что берется комплексная часть

Обычно символы ReилиImопускают и полагают, что

, (2.24.)

где - комплексная амплитуда.

В выражении (2.24.) комплексная амплитуда Aпринимается постоянной величиной, не зависящей от времени.

Представление э.д.с., напряжений и токов в виде радиус- векторов на комплексной плотности является условным, но весьма удобным приемом.

При графической интерпретации колебания предполагают, что вектор Aвращается на комплексной плоскости против часовой стрелки с неизменной угловой скоростью. При сложении или вычитании нескольких гармонических колебаний одной частоты, представленных в виде, множительопускают и производят все операции над комплексными амплитудами, используя аппарат векторной алгебры. После определения амплитуды и фазы результирующего колебания мгновенное значениеa(t) может быть определено из выражений (2.22.) или (2.23).

При таком представлении колебаний напряжения или тока, алгебраическому сложению или вычитанию мгновенных или действующих значений синусоидальных величин соответствуют геометрическое сложение или вычитание радиус векторов.

Необходимо еще раз напомнить, что использование такого описания процессов в цепях переменного тока допустимо только при условии, что Aив выражениях (2.22.)…(2.24) являются постоянными величинами, и что представление переменного тока (напряжения) гармоническими функциями (2.22.), (2.23) является идеализацией, не учитывающей того, что реальная форма напряжения, вырабатываемого генераторами близка к трапеции.

2.4.1.Представление элементов электрических цепей в комплексном виде

Полные сопротивления электрической цепи, состоящей из последовательно включенных R-L-C–элементов переменному току при этом целесообразно представлять в комплексном виде. Для того чтобы отличить комплексные величины их принято выделять подчеркиванием снизу. С учетом этого замечания выражение для полного сопротивления последовательно включенных элементовR-L-Cзаписывается в следующем виде:

Z = |Z| exp[ j φ] =R+jX, (2.25.)

где R – активное сопротивление цепи,

X=X_L+Xc-полное комплексное реактивное сопротивление цепи,

X_L=j|X_L|= j L –комплексное сопротивления индуктивности,

Xc= j |Xc|=1/jC–комплексное сопротивления емкости.

Х_L=|X_L|=L = 2 π f L - индуктивное сопротивление цепи для переменного напряжения,

Xc=|Xc|=1/C=1/2π f C - емкостное сопротивление цепи для переменного напряжения,

Z=-модуль полного комплексного сопротивления цепи, состоящей из последовательно включенных элементовR-L-C,

Φ=arc tg(X/R)-фаза комплексного сопротивления цепи.

Необходимо помнить о следующей особенности такого представления: полное сопротивление цепи (Z) равно не сумме активного и реактивных сопротивлений, а модулю полного комплексного сопротивления.

При этом полное реактивное сопротивление цепи ( Х =X_L–Xc), равно алгебраической разности индуктивного и емкостного сопротивлений,