Nachertatelnaya_geometriya_ch2_Kirillov_Haydarov_sredn._prof.obuch_2013

4.5 Взаимное положение плоскостей

Плоскости могут быть параллельны, взаимно перпендикулярны и могут пересекаться.

Известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Следы двух параллельных плоскостей – это линии их пересечения с плоскостями координат. Следовательно, соответствующие следы двух параллельных плоскостей – параллельны.

Пример 1. Через точку, заданную проекциями АI и АII, провести плоскость, параллельную плоскости, заданной следами fIIоα и hIоα (см. Ри-

сунок 4.16).

Направление следов искомой плоскости известно (они параллельны следам fIIоα и hIоα). Следовательно, для решения задачи достаточно найти точку, принадлежащую одному из следов, т.е. найти след любой прямой, лежащей в искомой плоскости и проходящей через точку А. Такой прямой может быть, например, горизонталь. Строим проекции горизонтали (NIАI║hIоα и NIIАII║ох). Проводим через точку NII фронтальный след искомой плоскости (fIIоβ║fIIоα). Горизонтальный след hIоβ получим, проведя прямую через точку схода следов хβ параллельно следу hIоα.

Рисунок 4.16 – Построение через точку А плоскости β, параллельной

плоскости α

21

Пример 2.Через точку А (АI,АII) провести плоскость α параллельную плоскости треугольника BCD (Рисунок 4.17).

Рисунок 4.17 – Построение через точку А плоскости α, параллельной

плоскости треугольника ВCD

Направления следов искомой плоскости α определим, проводя в плоскости треугольника горизонталь и фронталь, например BE и BK. Далее строим

проекции горизонтали плоскости α, проходящей через точку А (NIАI║BIEI и NIIАII║ох). Фронтальный след fIIоα искомой плоскости по-

лучим, проведя через точку NII прямую, параллельную BIIKII. Горизон-

тальный след hIоα проходит через точку схода следов хα и параллелен горизонтальной проекции горизонтали. Отметим, что искомая плоскость

22

может быть изображена двумя пересекающимися прямыми, параллельными сторонами заданного треугольника и проведёнными через точку А.

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них прохо-

дит через перпендикуляр к другой. Задача о проведении плоскости, перпендикулярной к заданной, через данную точку неопределённа, так как через перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, можно провести бесчисленное множество плоскостей. В качестве дополнительного условия может быть задана, например, прямая, через которую следует провести плоскость, перпендикулярную заданной.

Пример 3.Через прямую АВ (АIВI,АIIВII) провести плоскость β (Рисунок 4.18), перпендикулярную к плоскости α (fIIоα, hIоα).

Рисунок 4.18 – Построение через прямую АВ плоскости β, перпендику-

23

лярной плоскости α

Искомая плоскость должна проходить через перпендикуляр к плоскости α. Построим проекции перпендикуляра, опущенного из произвольной точки заданной прямой (например, точки В) на плоскость α (BIICII┴fIIоα и BICI┴hIоα). Плоскость, определяемая двумя пересекающимися прямыми АВ и ВС, будет искомой. Для построения следов искомой плоскости необходимо найти проекции следов прямых АВ и ВС. Следы hIоβ и fIIоβ получим, проводя прямые через одноимённые проекции (MIMI1,NIINII1) горизонтальных и фронтальных следов указанных прямых.

Пример 4.Через точку А (АI,АII) провести горизонтально проецирующую плоскость β, перпендикулярную к плоскости α (Рисунок 4.19).

Рисунок 4.19 – Построение через точку А плоскости β, перпендикуляр-

ной плоскости α

В данном случае дополнительным условием является задание типа плоскости. Искомая плоскость должна проходить через перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость α. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра должна совпадать с горизонтальным следом искомой плоскости и быть перпендикулярной к следу hIоα. Поэтому след hIоβ искомой плоскости получим, проведя через горизонтальную проекцию АI прямую, перпендикулярную к следу hIоα. След fIIоβ - прямая, перпендикулярная к оси ох, проведённая из точки схода следов хβ.

24

Необходимо указать, что в общем случае соответствующие следы

вза-имно перпендикулярных плоскостей не перпендикулярны друг к другу.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Линия пересечения

двух плоскостей проходит через точки пересечения одноимённых следов этих плоскостей.

Рассмотрим построение проекций линии пересечения двух плоско-

стей α и β(Рисунок 4.20, а, б), заданных следами.

Изображения одноимённых следов этих плоскостей пересекаются в точках M и N (Рисунок 4.20, а). Прямая MN - линия пересечения плоскостей α и β.

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение

Рисунок 4.20 – Построение линии NM пересечения двух плоскостей α и β

Изображения проекций (MINI и MIINII) линии пересечения плоскостей получим, соединяя прямыми линиями изображения соответствующих проекций её следов.

Построим прямоугольные проекции (Рисунок 4.20, б) следов искомой линии пересечения плоскостей α и β. Проекции MI и NII этих следов совпадают с точками пересечения соответствующих следов плоскостей α и β. Проекции MII и NI найдём на оси ох. Проекции искомой линии пересечения получим, соединяя прямыми линиями соответствующие проекции её следов.

25

Рассмотрим построение проекций линий пересечения двух плоскостей, у которых два одноимённых следа взаимно параллельны.

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β (Рисунок 4.21), у которых горизонтальные следы параллельны (hIоα║hIоβ). Проекции фрон-

тального следа искомой линии пересечения отыскиваются просто: NII- в точке пересечения fIIоα с fIIоβ – на оси ох. Так как следы hIоα и hIоβ не пе-

ресекаются, то, следовательно, горизонтального следа искомая прямая не имеет.

Рисунок 4.21 – Построение линии N1 пересечения двух плоскостей α и β с

параллельными горизонтальными следами

Такой линией может быть лишь общая для обеих плоскостей α и β горизонталь. Проекции её получим, проведя из точки NII прямую, параллельную оси ох (NII1II), а из точки NI прямую, (Рисунок4.20, а,) параллельную следам hIоα и hIоβ (NI1I). Отметим, что если у пересекающихся плоскостей параллельны фронтальные следы, то линией их пересечения будет общая фронталь. Кроме того, общей горизонталью или фронталью двух пересекающихся плоскостей будет также линия пересечения таких плоскостей, одна из которых параллельна плоскости π2 или π1 (Рисунок 4.22).

26

Рисунок 4.22 – Построение фронтали AN Рисунок 4.23 – Построение линии NK пересечения двух плоскостей α и β

Рассмотрим случай построения проекций линии пересечения плоскостей α (fIIоα,hIоα) и β (fIIоβ,hIоβ) , горизонтальные следы которых пересекаются вне пределов чертежа (Рисунок 4.23). Одной из точек, принадлежащих линии пересечения этих плоскостей, будет точка пересечения их фронтальных следов. Отметим проекции NII и NI этой точки. Проекции второй точки искомой линии пересечения найдём с помощью вспомогательной плоскости γ, параллельной плоскости π2 (hIоγ║ох). Любая линия, лежащая в плоскости γ, параллельна плоскости π2. Следовательно, линиями пересечения плоскостей α и β с плоскостью γ будут фронтали плоскостей α и β. Горизонтальные проекции этих фронталей совпадут со следом

hIоγ. Фронтальные их проекции найдём, отметив проекции точек М (МI,МII) и М1 (М1I,М1II) пересечения следов hIоα и hIоβ со следом hIоγ и

проведя через точки МII и М1II прямые, соответственно параллельные следам fIIоα и fIIоβ. Точка К (КI,КII) пересечения построенных фронталей является общей для плоскостей α, β и γ, т.е. искомой второй точкой линии пересечения плоскостей α и β. Проведя прямые линии через соответст-

27

вующие проекции точек N и K, получим проекции искомой линии пересечения плоскостей α и β.

Характерными являются случаи пересечения двух проецирующих плоскостей. Например, линия пересечения двух горизонтально проецирующих плоскостей α и β (Рисунок 4.24) как линия пересечения двух плоскостей с плоскостью, им перпендикулярной, перпендикулярна к плоскости π1. Горизонтальная её проекция – точка, совпадающая с пересечением следов hIоα и hIоβ, а фронтальная проекция – перпендикуляр к оси ох, восстановленный из точки МII (точка 1II взята произвольно).

Рисунок 4.24 – Построение линии пересечения М1 двух горизонтально-

-проецирующих плоскостей

Вслучае, когда у двух плоскостей α и β имеется общая точка схода

следов (хα ≡ хβ) (Рисунок 4.25), линия пересечения этих плоскостей также находится с помощью вспомогательной плоскости. Одна общая точка этих плоскостей очевидна (хα ≡ хβ). Возьмём вспомогательную горизонтальную

плоскость γ (fIIоγ║ох). Плоскости α и γ пересекаются по горизонтали N1 (NII1II,NI1I), а плоскости β и γ - по горизонтали N12 (N1II2II,N1I2I) (см.

Рисунок 4.22). Фронтальные проекции этих горизонталей совпадают со следом fIIоγ, горизонтальные проекции пересекаются в точке KI. Точка K (KI,KII) - общая для всех трёх плоскостей α, β и γ, т. е. это вторая общая точка для плоскостей α, β. Соединяя точку (хα ≡ хβ) с точкой K (KI,KII) получим проекции линии пересечения.

28

Рисунок 4.25 – Построение линии N3 пересечения двух плоскостей α и β с

общей точкой 3

Если пересекаются две профильно - проецирующие плоскости α и β (Рисунок 4.26, а, б), то очевидно, что линия их пересечения – прямая, параллельная оси ох.

29

а

б

а – с использованием третьего следа; б – с использованием вспомогательной плоскости γ Рисунок 4.26 – Построение линии пересечения 12 двух профильно – про-

ецирующих плоскостей α и β

30