Nachertatelnaya_geometriya_ch2_Kirillov_Haydarov_sredn._prof.obuch_2013

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение

Рисунок 4.6 – Горизонталь N1

Для этого на следе fIIоα плоскости возьмём любую точку N (см. Рисунок 4.6, а) и из неё проведём прямую, параллельную изображению следа hIоα. Для построения вторичных проекций горизонтали отметим на чертеже изображения проекций NI и фронтального следа этой горизонтали. Изображение фронтальной проекции горизонтали найдём, проведя через точку NII прямую, параллельную оси ох. Изображением горизонтальной проекции горизонтали будет прямая, проведённая через точку NI параллельно изображению самой прямой и, следовательно, параллельно следу

hIоα. Возьмём на построенной горизонтали точку 1 и построим изображение её проекций. Для данного случая N1||NI1I||hIоα и NII1II||ох.

Для построения прямоугольных проекций горизонтали (Рисунок 4.6, б) достаточно взять на следе fIIоα произвольную точку NII (фронтальная проекция фронтального следа горизонтали) и построить горизонтальную проекцию NI этой точки. Фронтальную проекцию горизонтали получим, проведя через точку NII прямую, параллельную оси ох. Горизонтальной проекцией горизонтали будет прямая, проведённая через точку NI парал-

11

лельно следу hIоα. Отметим проекции точки 1, лежащей на горизонтали. При этом NI1I||hIоα и NII1II||ох.

Прямая, лежащая в плоскости произвольного положения и параллельная плоскости π2 называется фронталью плоскости.

Построим косоугольные проекции осей координат и плоскости α, заданной следами (см. Рисунок 4.7,а). Возьмём произвольную точку M на следе hIоα и проведём через неё прямую, параллельную fIIоα. Это и будет изображением фронтали. Построение вторичных проекций фронтали и

точки на ней (например, точки 2) аналогично построению, показанному в предыдущем примере. При этом M2||MII2II||fIIоα и MI2I||ох. Для построе-

ния прямоугольных проекций фронтали (см. Рис.4.7, б) достаточно на следе hIоα взять произвольную точку MI (горизонтальная проекция горизон-

тального следа фронтали) и построить её фронтальную проекцию

MII(MIMII┴ох).

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение

Рисунок 4.7– Горизонталь M2

Горизонтальную проекцию фронтали получим, проведя через точку MI прямую, параллельную оси ох. Фронтальной проекцией фронтали будет

12

прямая, проведённая через точку MII параллельно следу fIIоα. Отметим проекции точки 2, лежащей на фронтали MI2I||ох и MII2II||fIIоα.

Прямая, лежащая в плоскости и параллельная плоскости π3 назы-

вается профильной. Рассматривать её построение не будем, так как оно аналогично построению горизонтали и фронтали.

4.3Частные случаи положения плоскости

Кчастным случаям положения плоскости относят плоскости:

-перпендикулярные одной из плоскостей координат;

-параллельные одной из плоскостей координат;

-проходящие через ось координат;

-проходящие через начало координат.

Рассмотрим более подробно построение изображений плоскостей, перпендикулярных какой – либо плоскости координат. Такие плоскости называют проецирующими плоскостями.

Возможны три типа плоскостей, перпендикулярных к плоскостям координат, а именно:

1 - плоскости, перпендикулярные к плоскости π1; 2 - плоскости, перпендикулярные к плоскости π2; 3 - плоскости, перпендикулярные к плоскости π3;

Плоскость, перпендикулярная к плоскости π4, параллельна оси z. Па-

раметр zтакой плоскости равен бесконечности.

Построим косоугольную проекцию такой плоскости (см. Рисунок 4.8, а).

13

а б а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение

Рисунок 4.8 – Плоскость частного положения, перпендикулярная π1

Откладывая на осях координат параметры z и y, находим точки схода следов хα и уα, соединяя которые прямой линией, получим изображение горизонтального следа αI. Так как точка схода zα удалена в бесконечность, то изображения фронтального fIIоα и профильного pIIIоα следов получим,

проводя из точек хα и уα прямые, параллельные оси оz.

Следы fIIоα и pIIIоα, как параллельные оси оz, соответственно перпендикулярны к осям ох (fIIоα┴ох) и оу (pIIIоα┴оу).

Возьмём в плоскости α произвольную точку А и построим её вторичные проекции. Горизонтальную проекцию найдём на следе hIоα. Изображения фронтальной и профильной проекций получим, построив параллелепипед координат точки.

Заметим важное обстоятельство: горизонтальная проекция точки или

любого геометрического элемента, расположенного в плоскости α, перпендикулярной к плоскости π1, совпадает со следом hIоα.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости π4, называется горизонтально – проецирующей плоскостью. Построим прямоугольные проекции плоскости, перпендикулярной к плоскости π1. Для этого на осях координат

14

отметим точки хα и уα (см. Рисунок 4.8, б). След hIоα получим, соединяя прямой линией точку хα с точкой уα, отмеченной на вертикальной оси оу. Следы fIIоα и pIIIоα найдём, проводя прямые, параллельные оси оz из точек хα (fIIоα┴ох) и уα, отмеченной на горизонтальной оси оу (pIIIоα┴оу).

Построим прямоугольные проекции точки А, лежащей в горизонтально

– проецирующей плоскости. Её горизонтальной проекцией будет произвольная точка АI на следе hIоα. Проекции АII и АIII найдём, задаваясь зна-

чением координаты zточки.

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение Рисунок 4.9 – Плоскость частного положения, перпендикулярная π2

Рассмотрим построение проекций плоскости, перпендикулярной к плоскости π2. Откладывая на изображениях осей координат параметры х и z (см. Рисунок 4.9, а), находим точки хα и zα, соединяя которые прямыми линиями, получаем изображение следа αI. Изображения следов и pIIIоα найдём, проводя из точек схода следов хα и zα прямые, параллельные оси оу.

В прямоугольных проекциях (см. Рис.4.9, б) след hIоα - прямая, прове-

дённая из точки хα параллельно вертикальной оси оу (hIоα┴ох), а след pIIIоα - прямая, проведённая из точки zα параллельно горизонтальной

15

оси оу (pIIIоα ┴оz).

Изображение фронтальной проекции ВII точки В (см. Рисунок 4.8, а, б) совпадает со следом αII, а изображения проекций ВI и ВIII могут быть по-

строены по заданной координате уэтой точки.

Плоскость, перпендикулярная к плоскости V, называется фронтально

- проецирующей плоскостью.

Построим изображение следов плоскости, перпендикулярной к плоскости π3 (см. Рисунок 4.10, а, б). Такая плоскость параллельна оси ох. Откла-

дывая на осях координат параметры у и z, отметим точки схода следов уα и zα.

Изображение следа pIIIоα найдём, соединяя прямой линией точку zα с

точкой уα (в прямоугольных проекциях на Рис.4.10, б – через точку уα на горизонтальной оси оу). Отметим, что при прямоугольном проецировании hIоα ┴оу и fIIоα┴оz. Если взять точку С в плоскости α, то изображение её профильной проекции будет находиться на следе pIIIоα.

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение

Рисунок 4.10 – Плоскость частного положения, перпендикулярная π3

Изображения проекций СI и СII могут быть построены по заданной координате Х этой точки.

16

Плоскость, перпендикулярная к плоскости π3, называется профильно -

проецирующей плоскостью.

4.4 Взаимное положение прямой и плоскости

Возможны следующие случаи взаимного положения прямой и плоскости:

-прямая лежит в плоскости;

-прямая параллельна плоскости;

-прямая перпендикулярна к плоскости;

-прямая пересекает плоскость.

Первый случай взаимного положения прямой и плоскости был ранее рассмотрен. Отметим лишь, что прямая лежит в плоскости, если её сле-

ды ле-жат на соответствующих следах плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой – либо прямой, лежащей в плоскости. Задача о проведении прямой, параллельной заданной плоскости, через данную точку – неопределённа, так как в плоскости может быть проведено бесчисленное множество прямых и такое же количество параллельных им прямых может быть проведено через данную точку. Для определённости решения должно быть задано дополнительное условие (направление прямой или одна из её проекций).

Пример 1. Даны проекции АI и АII точки А и горизонтальная проекция АIВI прямой АВ, параллельной заданной плоскости α. Построить фронтальную проекцию этой прямой (см. Рисунок 4.11).

17

Построение осуществляем в такой последовательности. В заданной плоскости строим проекции вспомогательной прямой, параллельной искомой. Для этого проведём MINI║АIВI и построим фронтальную проекцию MIINII этой прямой. Затем проводим недостающую проекцию искомой

прямой параллельно соответствующей проекции вспомогательной прямой, т.е. через точку АII проводим прямую АIIВII║MIINII.

Пример 2. Через точку А, заданную проекциями АI и АII, провести прямую, параллельную горизонтали плоскости, заданной треугольником (см. Рисунок 4.12). В этом случае в качестве дополнительного условия задано направление прямой. Проведём в плоскости треугольника KMN произвольную горизонталь CD. Искомые проекции прямой, проходящей через точку А и параллельной горизонтали CD, получим, проведя через точки АI и АII прямые, параллельные соответствующим проекциям горизонтали. Точка В (ВI,ВII) взята произвольно.

Прямая перпендикулярна к плоскости, если её прямоугольные проекции перпендикулярны к соответствующим следам этой плоскости.

Для доказательства данного утверждения изобразим плоскости координат и произвольную плоскость α (см. Рисунок 4.13).

Рисунок 4.13 – Прямая АВ, перпендикулярная плоскости α

18

Пусть прямая АВ перпендикулярна к плоскости α и пересекает её в точке В. Известно, что эта прямая должна быть перпендикулярна и к любой прямой, проведённой в плоскости через точку В.

Проведём через точку В горизонталь плоскости (FC║hIоα).Тогда (в на-

туре) <АВC=900. Построим горизонтальные проекции горизонтали (FCI║FC║hIоα) и прямой АIВI. Если <АВC=900 и ВC║ВICI, то <АIВI-

CI=900, так как плоскости, ограниченные четырёхугольниками АВВIАI и

ВCCIВI, перпендикулярны плоскости π1 и взаимно перпендикулярны. Отсюда АIВI┴ВICI. Но ВICI║hIоα, следовательно АIВI┴hIоα, т. е. гори-

зонтальная проекция АIВI перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости. Аналогичным построением можно показать, что фронтальные и профильные проекции прямой АВ перпендикулярны к соответствующим следам плоскости.

Пример 3. Из произвольной точки на плоскости, заданной следами,

построить перпендикуляр к ней.

Пусть даны плоскость α (fIIоα,hIоα) и точка А (АI,АII), лежащая в плоскости α (АI и АII) лежат на проекциях горизонтали этой плоскости (см. Рисунок 4.14). Проекции перпендикуляра, восстановленного из точки А к плоскости α, изображаются в виде прямых, проведённых из точек АI

и АII и перпендикулярно к соответствующим следам плоскости (АIВI┴hIоα и АIIВII┴ fIIоα). Точка В (ВI,ВII) взята произвольно.

Рисунок 4.14 – Прямая АВ, перпендикулярная плоскости α

19

Пример 4. Из точки А восстановить перпендикуляр к плоскости, заданной треугольником АСD (Рисунок 4.15).

В данном случае нет необходимости строить следы плоскости, так как известно, что они параллельны соответствующим проекциям горизонтали и фронтали плоскости. Поэтому строим проекции горизонтали АF и фрон-

тали АE. Проекции перпендикуляра, восстановленного из точки А к плоскости треугольника, получим, проведя АIIВII┴АIIEII и АIВI┴АIFI.

Точка В (ВI,ВII) взята на перпендикуляре произвольно.

Рисунок 4.15 – Прямая АВ, перпендикулярная плоскости

треугольника ACD

Случай пересечения прямой с плоскостью будет разобран после изложения следующего параграфа.

20