Nachertatelnaya_geometriya_ch2_Kirillov_Haydarov_sredn._prof.obuch_2013

Найти её можно двумя способами, либо по общим правилам (см. Рисунок 4.20), применив для нахождения общей точки K (KI,KII), через которую пройдёт линия пересечения K1 (KI1I,KII1II) вспомогательную плоскость γ общего положения (Рисунок 4.26, б), либо построить произвольную ось zоy и найти профильные следы плоскостей pIIIоα и pIIIоβ . Точка пересечения этих следов (1III2III) есть профильная проекция линии пересечения

(Рисунок 4.26, а).

Если одна из профильно – проецирующих плоскостей α проходит через ось ох (fIIоα ≡ hIоα ≡ ох), угол наклона плоскости α к плоскостям координат задаётся произвольной точкой K (KI,KII), лежащей в этой плоскости), а вторая - β горизонтальная (или вертикальная), проходящая через точку К, то очевидно (см. Рисунок 4.27, а, б), что линия пересечения 1-2 пройдёт

через точку К, а её проекции – через соответствующие проекции точки (1II-2II через KII; 1I-2I через KI).

а

31

б

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение Рисунок 4.27 – Построение линии пересечения 12, профильно – проеци-

рующих плоскостей α и β

Рассмотренный случай находит применение, когда находится линия пересечения плоскости общего положения β с профильно – проецирующей плоскостью α, проходящей через ось ох (Рисунок 4.28).

Проводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ (произвольно). fIIоγ║ох. Ищем линию пересечения 12 (1I2I,1II2II) плоскостей α и γ

(см. Рисунок 4.27). Находим линию пересечения плоскостей (см. Рису-

нок 4.22).

32

Рисунок 4.28 – Построение линии пересечения 12 плоскостей α и β

Фронтальные проекции этих линий совпадают с фронтальным следом плоскости γ (fIIоγ), а горизонтальные проекции пересекаются в точке Р (РI,РII). Эта точка - общая для трёх плоскостей α, β и γ и, следовательно, вторая искомая точка линии пересечения плоскостей α и β (первая точка – точка схода следов хβ). Соединяя точку хβ с точками РI и РII, получаем проекции линии пересечения (хβ3II,хβ3I).

33

4.6 Пересечение прямой линии с плоскостью

Точку пересечения (встречи) прямой линии с плоскостью определяют тремя последовательными построениями:

1)через прямую проводят вспомогательную плоскость (как правило, проецирующую);

2)строят линию пересечения заданной и вспомогательной плоскостей;

3)отмечают точку пересечения построенной линии заданной прямой, которая и является искомой точкой встречи.

Рассмотрим примеры построения точек пересечения прямых с плоскостями.

Пусть даны косоугольные проекции (Рисунок 4.29, а) плоскости α (fIIоα,hIоα) и пересекающей её прямой АВ (АIВI). Требуется найти точку пересечения прямой АВ с плоскостью α.

Проведём через прямую АВ горизонтально – проецирующую плоскость β. Изображение её горизонтального следа βI совпадает с изображением горизонтальной проекции АIВI прямой АВ. Изображение фронтального следа fIIоβ (fIIоβ║оz) - прямая, проведённая из точки хβ перпендикулярно к оси ох.

Построим линию пересечения плоскостей α и β. Проекции N и M следов этой линии совпадут с изображением точек пересечения одноимённых следов α и β. Соединяя точки N и M, получим линию пересечения плоскостей α и β. Изображение искомой точки К пересечения прямой АВ с плоскостью α найдём, отметив точку пересечения прямой АВ и линии пересечения NM плоскостей α и β.

В прямоугольных проекциях построение точки пересечения прямой с плоскостью осуществляется в аналогичной последовательности.

Пусть даны (см. Рисунок 4.29, б) плоскость α (fIIоα,hIоα) и пересекающая её прямая АВ (АIВI,АIIВII). Проведём через прямую АВ горизонтально – проецирующую плоскость β. Её горизонтальный след βI совпадает с горизонтальной проекцией АIВI прямой АВ. Фронтальный след fIIоβ получим, проведя из точки схода следов хβ прямую, перпендикулярную к оси ох. Построим проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. Горизонтальная проекция MI горизонтального следа этой прямой, а также фронтальная проекция NII её фронтального следа совпадут с точками пересечения соответствующих следов плоскостей α и β. Проекции MII и NI найдём на оси ох. Соединяя одноимённые проекции следов прямыми линиями, получаем проекции пересечения плоскостей α и β. Фронтальную проекцию KII искомой точки пересечения прямой АВ с

34

плоскостью α найдём, отметив точку пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения. Её горизонтальную проекцию KI получим на горизонтальной проекции АIВI прямой АВ.

а – аксонометрическое изображение на плоскости эпюра; б – прямоугольное изображение

Рисунок 4.29 – Пересечение прямой линии АВ с плоскостью α

Рассмотрим случай пересечения прямой, перпендикулярной к плоскости координат, с плоскостью общего положения.

Пусть дана плоскость общего положения α (fIIоα,hIоα) и пересекающая её прямая АВ (АIВI,АIIВII), перпендикулярная к плоскости π1 (Рисунок

4.30, а, б).

35

Рисунок 4.30 – Способы построения прямой АВ с плоскостью α

Проведём через прямую АВ вспомогательную горизонтально - проецирующую плоскость. Любая прямая, проведённая через точку, в которую проецируется на плоскость Н заданная прямая, может быть принята за горизонтальный след такой плоскости. С целью упрощения построений этот след проводят так, чтобы вспомогательная плоскость пересекалась бы

с заданной по общей горизонтали или фронтали.

Проведём βI║hIоα через точку АIВI и fIIоβ ┴ ох из точки хβ схода следов (см. Рисунок 4.30, а). Линия пересечения плоскостей α и β будет общей горизонталью N1 (NI1I;NII1II)обеих плоскостей. Фронтальную проекцию искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью α найдём, отметив точку КII пересечения фронтальных проекций заданной прямой и построенной горизонтали. Горизонтальная проекция КI совпадает с точкой АIВI, в которую проецируется на плоскость π1 прямая АВ.

36

Если провести γI║ох (см. Рисунок 4.30, б), то вспомогательная плоскость γ будет параллельна плоскости π2. При этом линия пересечения плоскостей α и γ будет общей фронталью М2 (МI2I,МII2II) обеих плоскостей. Проекции КI и КII искомой точки пересечения прямой АВ с плоскостью α найдём, отметив точки пересечения соответствующих проекций заданной прямой и построенной фронтали.

Рассмотрим постороение точки встречи прямой АВ (АIВI,АIIВII) общего положения с плоскостью, заданной плоской фигурой, например треугольником (Рисунок 4.31).

Рисунок 4.31– Построение пересечения прямой АВ и плоскости треугольника CDE

Проведём через прямую АВ вспомогательную фронтально - проецирующую плоскость γ. Её фронтальный след γII совпадает с фронтальной проекцией АIIВII прямой АВ. Построим проекции линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей. Фронтальная проекция этой линии совпадает со следом γII. Фронтальные проекции двух точек, принадлежа-

37

щих линии пересечения указанных плоскостей, найдём, отметив 1II и 2II пересечения следа γII с фронтальными проекциями DIICII и CIIEII сторон треугольника. Горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей получим, соединяя прямой линией горизонтальные проекции 1I и 2I и этих точек.

Горизонтальную проекцию КI искомой точки встречи прямой АВ с плоскостью треугольника CDE найдём, отметив точку пересечения горизонтальных проекций заданной прямой и построенной линии пересечения

плоскостей. Фронтальную её проекцию КII найдём на фронтальной проекции АIIВII прямой АВ.

Определим видимость проекций с помощью конкурирующих точек.

Если считать, что плоскость CDE непрозрачна, то отрезки прямой, перекрытые треугольником, будут невидимыми и должны быть показаны на чертеже штриховыми линиями. Очевидно, что видимость отрезков прямой изменяется в точке K (KI,KII) пересечения прямой с плоскостью. Начнём с определения видимости отрезков АIKI и KIBI на плоскости π1. Отметим на чертеже две точки, принадлежащие прямой АВ и плоскости треугольника CDE и являющиеся конкурирующими по отношению к плоскости H. Такими точками могут быть точки 3 и 4, горизонтальные проекции которых 3I и 4I находятся в пересечении АIВI с DIEI, а фронтальные проекции 3II и 4II - на соответствующих проекциях АIIВII и DIIEII. Луч, проецирующий обе точки на плоскость π1 встретит раньше точку 3, принадлежащую прямой АВ. Следовательно, видимой будет горизонтальная проекция отрезка KIBI прямой. Часть проекции АIKI перекрытая проекцией треугольника, невидима и показана на чертеже штриховой линией.

Видимость фронтальных проекций АIIKII и KIIBII может быть определена, например, с помощью точек 1 и 5, конкурирующих по отношению к плоскости π2. В этом случае видима точка 1, принадлежащая стороне DE треугольника, так как горизонтальный луч, проецирующий точки 1 и 5 на плоскость π2, встретит раньше точку 1. Следовательно, фронтальная проекция треугольника перекрывает часть проекции KIIBII отрезка КВ. Проекция АIIKII отрезка АК видима и изобразится на чертеже сплошной линией.

38

4.7 Вопросы для самопроверки

1Какие существуют способы задания плоскости?

2Как на чертеже построить проекции точки, принадлежащей плоскости?

3Как на чертеже построить проекции прямой, принадлежащей плоскости?

4Какие плоскости называются проецирующими?

5Покажите способы построения горизонтали и фронтали плоскости общего положения и проецирующих плоскостей?

6 Какие плоскости можно провести через фронтально – проецирующую прямую?

7Можно ли провести проецирующую плоскость через прямую общего положения?

8Какова последовательность решения задач на пересечение прямой с плоскостью? Плоскостей?

9Как относительно друг друга могут быть расположены в пространстве прямая и плоскость?

10По какой линии пересекаются две фронтально – проецирующие плоскости?

11Сформулируйте условия параллельности и условия перпендикулярности двух плоскостей.

12Как построить проекции перпендикуляра, проведённого из точки пространства к плоскости общего положения?

13По какой прямой пересекаются две плоскости, если одна из плоско-

стей параллельна плоскости π2? Плоскости π1?

14Сформулируйте принцип построения линии пересечения двух плоскостей, одноимённые следы которых не пересекаются в пределах чертежа

15Как определить на проекциях видимость прямой относительно плоскости?

39

5 КОМПЬЮТЕРНЫЕМЕТОДЫИЗУЧЕНИЯ НАЧЕРТАТЕЛНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В дополнение к традиционным лекциям и практическим занятиям в аудиториях в настоящее время все больший объем самостоятельной работы учащихся начинает отводиться компьютерным методам обучения. В дисциплине «Начертательная геометрия» данные методы обучения можно условно разделить на ряд технологий компьютерного обучения.

Первой из перспективных технологий компьютерного обучения является интернет-технология. Использование интернетовских сайтов для размещения учебных материалов сегодня обычное дело в обучении студентов. На таких сайтах, как правило, размещают перечень и варианты заданий, образцы их выполнения, требования к объему и качеству работ, списки на литературу, электронные учебные пособия. На сайтах крупных университетов имеются интернет учебники по начертательной геометрии [3-5]. Например, на сайте НИУ Институт информационных технологий, механики и оптики для открытого доступа выставлен интернет-учебник по начертательной геометрии с анимированными рисунками [3]. В данном учебнике в виде анимации приведены примеры объяснений и пошаговая последовательность решения задач по дисциплине «Начертательная геометрия».

Второй технологией компьютерного обучения в настоящее время является выкладывание в интернете лекций, записанных на видеокамеру. Это традиционная видеосъемка лекций. Хотя запись видео известна сравнительно давно, но компьютерные технологии позволяют соединить видео лекции с анимацией с дисплея компьютера. Например, на сайте НТУУ Киевский политехнический институт для открытого доступа выставлены видео лекций по начертательной геометрии [8].

Третьей технологией компьютерного обучения является создание компьютерных демонстрационных программ по дисциплине «Начертательная геометрия», в которых обучающийся сам может рассматривать трехмерную модель объектов начертательной геометрии. В модели можно менять параметры и рассматривать модель с любого направления. Данные программы можно применять для демонстрации примеров при объяснении на лекциях и для самостоятельной работы учащегося дома. Такие программы кроме трехмерного представления объектов начертательной геометрии и их анимации позволяют непосредственно в процессе работы изменять параметры. Например, показать плоскость общего положения и плоскости частного положения (рисунки 5.1 - 5.5). Данная программа выставлена в интернете [9] со ссылками для скачивания в открытом доступе.

40