MEHANIKA

выражений (3.16) и (3.17) для касательного и нормального ускорений получим:

Здесь Fm и Fn – проекции действующей на точку силы на касательную и нормаль к траектории ее движения.

Уравнения (4.3) и (4.4) называются дифференциальными

уравнениями движения материальной точки в декартовых и естественных осях соответственно. Вместе с уравнением (4.2) они лежат в основе решения обеих задач динамики точки. При решении первой задачи динамики движение точки задано одним из способов. Тогда действующая на точку сила находится с помощью соответствующего дифференциального уравнения путем двукратного дифференцирования закона движения. В частности, если движение точки задано естественным способом (3.4), то явный вид зависимости дуговой координаты s от времени известен. В этом случае проекция на касательную к траектории Fm действующей на точку силы находится по первому соотношению (4.4), а проекция этой силы на нормаль Fn – по второму соотношению:

Fn m ds 2 .

d

Полная величина силы F определяется ее проекциями:

FFm2 Fn2 ,

аее направление – углом между силой и касательной к траектории в данной точке:

cos = Fm / F.

Вторая задача динамики является обратной к первой. Она заключается в определении закона движения точки под действием заданных сил. Пусть, например, требуется найти закон движения материальной точки массой m, находящейся под действием упругой силы F. Сила упругости пропорциональна расстоянию х до некоторой фиксированной точки О. Примем точку О за начало координат, а прямую, вдоль которой будет двигаться рассматриваемая точка, - за ось координат Ох. Тогда, согласно (4.3), движение точки описывается уравнением:

61

Коэффициент пропорциональности с называют коэффициентом жесткости, знак минус указывает на то, что сила упругости всегда направлена к началу координат, где бы не находилась движущаяся точка. Такая ситуация имеет место, например, при работе пружин.

Уравнение движения (4.5) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка относительно координаты точки х( ):

Из курса математики известно, что его общим решением является функция:

где В1 и В2 – постоянные интегрирования. Их значения определяются из начальных условий. Предположим, что в начальный момент времени = 0 точка имела скорость V0 и находилась в положении х0. Полагая в равенстве (4.6) = 0, получим: В1 = х0. Скорость точки в произвольный момент времени равна:

V ddx B1 mc sin mc B2 mc cos mc .

При = 0 находим: В2 = V0 mc . Таким образом, значения констант В1 и

В2 зависят как от характеристик системы (масса m и жесткость с), так и от начальных условий. Пользуясь известным тригонометрическим равенством для комбинации синуса и косинуса закон движения точки (4.6) можно записать в более простом для анализа виде:

Отсюда видно, что точка под действием упругой силы будет совершать периодические движения (колебания) относительно начала

координат. Сомножитель А, равный В12 В22 , называется амплитудой

62

колебаний, угол , равный arcsin BA1 , носит название начальной фазы.

Период колебаний Т, т. е. промежуток времени, в течение которого рассматриваемая точка проходит одно и то же положение в одинаковом направлении, равен:

Закон движения (4.7) описывает незатухающие колебания, которых в реальных ситуациях не наблюдается. Противоречие с реальностью возникает из-за того, что уравнение движения (4.5) не содержит сил сопротивления, которые в действительности всегда существуют (силы трения, силы сопротивления среды).

Приведенный пример показывает, что вторая задача динамики сводится к интегрированию дифференциальных уравнений движения с учетом известных значений скорости и координаты точки в некоторый (начальный) момент времени.

4.3. Принцип Даламбера. Силы инерции.

Как уже отмечалось в комментарии к аксиоме 2, если на точку наложены связи, то в правую часть уравнения движения (4.1) входит сумма активных (задаваемых) сил и реакции связей:

Перенесем все слагаемые в правую часть равенства:

Величина Ф = - m W называется силой инерции. Используя ее, можно уравнение движения (4.10) записать в форме уравнения равновесия (2.3):

Это векторное равенство составляет содержание принципа Даламбера: силы инерции уравновешивают активные силы и реакции связей.

Сила инерции тем больше, чем больше ускорение и масса движущегося тела. Она направлена в сторону, противоположную ускорению. Следовательно, если движение ускоренное, то сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. Если

63

движение замедленное, то сила инерции направлена по движению. Понятие силы инерции позволяет формально свести решение задач динамики к решению задач статики. Такой подход, основанный на принципе Даламбера, используется в кинетостатике при анализе работы механизмов и машин.

Вычисление составляющих силы инерции при различных способах задания движения точки не вызывает трудностей. В частности, при естественном способе задания движения касательная (тангенциальная) составляющая Фm силы инерции определяется соотношением:

а нормальная составляющая (центробежная) силы инерции Фn – соотношением:

Если точка принадлежит телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью и угловым ускорением , то составляющие силы инерции будут:

Здесь использованы выражения (3.25) и (3.26) для касательного и нормального ускорения точек вращающегося тела.

4.4. Центр масс механической системы

Получим теперь уравнение движения, аналогичное уравнению (4.1), но уже для механической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точек, которые обладают в общем случае различной массой. Обозначим массу точки с номером i через mi, а радиус-вектор этой точки - через ri. Массой механической системы m называется сумма масс всех ее точек:

i 1

Под центром масс механической системы понимают геометрическую точку С, радиус-вектор которой находится с помощью соотношения:

64

Это векторное равенство в проекциях на оси декартовой системы координат распадается на три скалярных соотношения для координат центра масс:

Если механическая система (в частности, твердое тело) находится в поле силы тяжести, то ее центр масс совпадает с центром тяжести, и формулы (4.14) позволяют найти его местоположение. Однако для твердого тела суммирование в правых частях равенств должно быть заменено интегрированием по его объему.

Дифференцируя эти равенства по времени можно установить связь между скоростями Vi всех точек механической системы и скоростью ее центра масс VС:

Повторное дифференцирование приведет к соотношению между ускорениями точек Wi и ускорением центра масс WС:

Таким образом, движение центра масс механической системы зависит от характера движения каждой ее точки. В свою очередь, движение точек системы происходит под действием сил. При анализе сил отмечалось (раздел 2), что часть сил является внешними по отношению к механической системе, другие силы действуют внутри системы между ее отдельными точками. С учетом этого запишем уравнение (4.1) для каждой точки механической системы:

mi Wi = Fi + Рi , i = 1, 2, …, N

где Fi и Рi – равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на i - ю точку. Просуммируем левые и правые части всех N уравнений:

65

N

внутренних сил Pi любой механической системы равен нулю. Тогда

i 1

сучетом (4.16) получим уравнение:

i 1

Следовательно, произведение полной массы механической системы на ускорение центра ее масс равно главному вектору всех внешних сил, действующих на точки механической системы. Сравнение полученного уравнения с аксиомой 2 позволяет сделать вывод: центр масс механической системы движется как свободная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних, действующих на точки системы.

В проекциях на оси декартовой системы координат векторному уравнению (4.17) соответствуют три уравнения в скалярной форме:

Здесь Fix, Fiy и Fiz – проекции на оси координат внешних сил, действующих на точку системы с номером i. Уравнения (4.18)

называются дифференциальными уравнениями движения центра масс. В случае поступательного движения твердого тела эти уравнения достаточны для его полного описания. В самом деле, в разделе, посвященном кинематике, отмечалось, что описание поступательного движения сводится к описанию движения одной его точки. В динамике в качестве такой точки выбирается центр масс. Поэтому уравнения (4.18) часто называются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела. Из них, в

частности, следует, что если главный вектор внешних сил равен нулю во все время движения, то центр масс механической системы будет находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно.

Еще один важный вывод, вытекающий из уравнений движения

(4.18) состоит в следующем: внутренние силы, действующие между отдельными элементами механической системы (твердого тела), не могут изменить движения центра масс.

66

4.5. Количество движения материальной точки и механической системы

Количеством движения материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на ее скорость: mi Vi. Единицей измерения количества движения служит кг м / с. Количеством движения механической системы К называют векторную сумму количества движения всех точек, составляющих систему:

i 1

Правую часть этого равенства, согласно (4.15), можно заменить на произведение mVC. Следовательно, количество движения механической системы (в частности, твердого тела) равно произведению ее массы на скорость центра масс: К = m VC. Отсюда видно, что количество движения является мерой поступательной части движения тела. Мерой вращательной части движения являются другие характеристики, которые будут рассмотрены ниже.

Продифференцируем обе части равенства (4.19) по времени. С учетом (4.17) имеем:

Это равенство составляет содержание теоремы об изменении количества движения механической системы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему.

Сформулированная теорема широко применяется при анализе движения не только твердых тел, но и газообразных и жидких сред. Она остается справедливой при движении тел переменной массы (например, при реактивном движении).

Из теоремы об изменении количества движения вытекает, что измениться оно может только в результате действия сил. Способность силы воздействовать на тело характеризуется ее импульсом. В общем случае импульс S силы F за промежуток времени от 0 до определяется соотношением:

67

Если сила не меняется во времени, то импульс, который она передает телу, равен произведению силы на время воздействия: F . Размерность импульса силы [S] = Н с = кг м / с. Она совпадает с размерностью количества движения. Следовательно, эти физические величины взаимосвязаны. Конкретный вид такой связи вытекает из теоремы об изменении количества движения (4.20).

Проинтегрируем обе части указанного равенства по времени в пределах от 0 до :

Свойства определенного интеграла после несложных преобразований позволяют записать:

т.е. приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени. Поскольку сумма сил, входящая в соотношение (4.20), эквивалентна главному вектору, предыдущая формулировка может быть заменена следующей: приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно импульсу главного вектора внешних сил за тот же промежуток времени. Обе формулировки составляют содержание теоремы импульсов.

Из теоремы вытекает несколько важных следствий. Во-первых,

внутренние силы не могут изменить количества движения механической системы. Во-вторых, если главный вектор внешних сил равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то количество движения системы будет постоянным в течение этого промежутка. Наконец, в-третьих, если проекция главного вектора внешних сил на какое-нибудь направления равна нулю, то проекция количества движения на это направление будет оставаться постоянной во все время движения системы. Приведенные следствия широко используются при решении задач механики.

4.6. Моменты инерции механической системы

Как уже отмечалось, количество движения является мерой поступательной составляющей движения и не может служить

68

характеристикой движения для вращающихся тел. Действительно, рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Тогда VC = 0, и количество движения К

= 0 в силу К = m VC.

Точно так же обстоит дело с массой тела. Если для поступательного движения она служит мерой инерционности тела, то для вращательного движения эту роль играют другие характеристики. Они носят название моментов инерции.

Пусть имеются материальная точка массой m и некоторая неподвижная ось. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси. Например, для материальной точки, изображенной на рис. 24, момент

у

l

h

m

О

х

Рисунок 24

инерции относительно оси Ох равен Jx = m у2, относительно оси Оу – Jу = m х2, относительно оси l - Jl = m h2 (х и у – координаты точки). Единицы измерения осевых моментов [J] = кг м2. Из определения момента инерции следует, что он не может быть отрицательным.

Понятие момента инерции материальной точки несложно обобщить на общий случай механической системы, состоящей из N материальных точек. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции ее отдельных точек:

i 1

где mi - масса точки с номером i , hi - расстояние этой точки до оси l. Свойство аддитивности момента инерции позволяет распространить это понятие на твердое тело произвольной формы. Если разбить весь объем, занятый телом, на бесконечно малые

69

элементы, то каждый такой элемент можно рассматривать как материальную точку массой dm. Момент инерции одного такого элемента, например, относительно оси Ох декартовой системы координат по определению равен (у2 + z2) dm. Тогда момент инерции всего тела может быть получен в результате интегрирования этой величины по всему объему V:

Здесь масса элементарного объема тела выражена через плотность материала : dm = dV.

Аналогично могут быть записаны моменты инерции тела относительно осей Оу и Оz:

В качестве примера использования приведенных формул вычислим момент инерции прямоугольной пластины, изображенной на рис. 25. Пусть m – масса пластины, h - ее длина, в – ширина, а – толщина. Тогда объем пластины V = hва, а масса единицы объема равна m / hва. Определим сначала момент инерции Jz относительно

h

z

Рисунок 25

оси Оz, проходящей через центр тяжести пластины С (рис. 25). Воспользуемся формулой (4.25). Выделим бесконечно малый элемент пластины, ограниченный координатами x, x + dx и z, z + dz. Его объем равен аdxdz , а масса dm :

70