- •1. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.
- •2. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
- •3. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
- •3) Классификация точек разрыва функции
- •4. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •5. Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых.
- •6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой
- •8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей
- •9. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы
- •10. Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация.
- •11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие
- •12. Производная функции в точке. Правила дифференцирования суммы,
- •13. Теорема Ферма.
- •14. Теорема Ролля
- •15. Теорема Лагранжа
- •16. Теорема Коши
- •17. Правило Лопиталя
- •18. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое условие экстремума.
- •19. Экстремумы функции одной переменной. Достаточное условие экстремума.
- •20. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости
- •21. Точки перегиба. Необходимое условие существования перегиба. Достаточное
- •22. Понятие о многочлене Тейлора. Формула Тейлора для функции одной переменной (без доказательства). Формула Маклорена для функций ,,.
19. Экстремумы функции одной переменной. Достаточное условие экстремума.
Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными ; а точки, где производная не существует называются критическими.
Итак, если точка х 0 есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х 0 представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.
Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.
Предположим, что в некоторой окрестности (х- ,х+ ) точки х 0 (по крайней мере, для х=х 0 ) существует конечная производная и как слева от х 0 , так и справа от х 0 (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:
1) f’(x)>0 при х<х 0 и f’(x)<0 при х>х 0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х 0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х 0 - ,х 0 ] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х 0 ,х 0 + ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х 0 - ,х 0 + ] , т. е. в точке х 0 функция имеет собственный максимум.
2) f’(x)<0 при х<х 0 и f’(x)>0 при х>х 0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х 0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х 0 функция имеет собственный минимум.
3) f’(x)>0 как при х<х 0 так и при х>х 0 либо же f’(x) и слева и справа от х 0 , т. е. при переходе через х 0 , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х 0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x 0 ), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x 0 ) так что в точке х 0 никакого экстремума нет.
Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х 0 : подставляя в производную f’(x) сначала х<х 0 , а затем х>х 0 , устанавливаем знак производной вблизи от точки х 0 слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:
a<х 1 <х 2 <… <х k <х k+1 <… <х n <b (3.1)
именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х 1 ), (х 1 ,х 2 ), … ,(х k ,х k+1 ), … ,(х n ,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (х k ,х k+1 ) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между х k и х k+1 , что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).
Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (х k ,х k+1 ) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.