- •1. Окрестность точки на числовой прямой. Предел функции в точке. Предел в бесконечно удаленной точке. Геометрическая интерпретация предела.
- •2. Односторонние пределы. Теорема о существовании предела функции в точке.
- •3. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Классификация точек разрыва.
- •3) Классификация точек разрыва функции
- •4. Предел функции в точке. Единственность предела.
- •5. Бесконечно малые функции в точке. Теоремы о бесконечно малых.
- •6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
- •7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой
- •8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей
- •9. Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы
- •10. Производная функция в точке. Геометрическая и механическая интерпретация.
- •11. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие
- •12. Производная функции в точке. Правила дифференцирования суммы,
- •13. Теорема Ферма.
- •14. Теорема Ролля
- •15. Теорема Лагранжа
- •16. Теорема Коши
- •17. Правило Лопиталя
- •18. Экстремумы функции одной переменной. Необходимое условие экстремума.
- •19. Экстремумы функции одной переменной. Достаточное условие экстремума.
- •20. Направление выпуклости графика функции. Достаточное условие выпуклости
- •21. Точки перегиба. Необходимое условие существования перегиба. Достаточное
- •22. Понятие о многочлене Тейлора. Формула Тейлора для функции одной переменной (без доказательства). Формула Маклорена для функций ,,.
6. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.
1) Пусть и— бесконечно малые при. 1. Если, то говорят, чтоявляетсябесконечно малой высшего порядка по сравнению с . В этом случае пишут. 2. Если, где—число, отличное от нуля, то говорят, чтои—бесконечно малые одного и того же порядка. В часности, если , то бесконечно малыеиназываются эквивалентными. Запись~означает, чтои—эквивалентные бесконечно малые. Если, то это означает, что. Таким образом,является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с, т. е.3. Еслии—бесконечно малые одного и того же порядка, причем, то говорят, что бесконечно малаяимеет порядокпо сравнению с. Отметим некоторые свойства бесконечно малых величин: 1o. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с сомножителями, т. е. если , тои. 2o. Бесконечно малые иэквивалентны тогда и только тогда, когда их разностьявляется бесконечно малой высшего порядка по сравнению си, т. е. если ,. 3o. Если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится при замене каждой из бесконечно малых эквивалентной ей бесконечно малой, т.е. если ,~,~, то.
2) Б.м. функциииназываютсяэквивалентнымиилиравносильными б.м. одного порядка при, если
Обозначают:при.
Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых.
Пусть - бесконечно малая при .
7. Теорема о предельном переходе под знаком неравенства. Теорема о сжатой
переменной (формулировка).
1) ТЕОРЕМА: (о предельном переходе в неравенстве.).
Пусть при всех n выполняется неравенство ,и переменныеи имеют пределы:
;
Тогда:, т. е..
Теорема означает, что в неравенстве можно переходить к пределам, сохраняя знак неравенства.
Доказательство:
Предположим, что
Выделим вокруг точек истоль малыеE – окрестности, чтобы они не пересекались.
По определению предела, начиная с некоторого номера n, переменные ипопадут в своиE – окрестности предельных точек.
Это означает, что, начиная с некоторого номера n, что противоречит условию. Противоречие доказывает теорему, ч. т. д.
Замечание:
Если при всех n выполняется (строго), то гарантировать строгого неравенства в пределе нельзя (в общем случае), гарантируется лишь нестрогое неравенство.
2) ТЕОРЕМА: (о сжатой переменной).
Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства, причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел, тогда переменнаятакже имеет предел, причем тот же самый.
8. Теорема о сохранении знака функции. Теорема о связи функции, имеющей
конечный предел, с бесконечно малой.
1) Теорема. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Если ,, то.
Доказательство. Достаточно доказать, что если , то и. Действительно, взявполучаем по определению непрерывности окрестность.
2) Теорема Для того, чтобы функция имела предел в точкеaравный А, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление :, где- бесконечно малая функция в точкеa .
ДОК. (1) Если , то функцияб.м.ф. Действительно,
(2) .