Арифметические операции над комплексными числами

На множестве комплексных чисел определены следующие арифметические операции:

1) сложение (вычитание)

Сумму (разность) комплексных чисел z₁= х₁+iу₁ и z₂= х₂+iу₂получают путем сложения (вычитания) их действительных и мнимых частей:

z₁± z₂=x₁±x₂+i(y₁±y₂)

2) умножение комплексных чисел

z₁z₂= х₁х₂- у₁у₂+ (у₁х₂+ у₂х₁), так как z₁z₂= (х₁+iу₁)*(х₂+iу₂)= = х₁х₂+iу₁х₂+iу₂х₁+i²у₂у₁= = х₁х₂- у₁у₂+ (у₁х₂+ у₂х₁)

3) деление комплексных чисел

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное делителю:

Например, пусть z₁= 7 + 2i и z₂= 3 –i. Тогда Re(z₁) = 7, Im(z₁) = 2; Re(z₂) = 3, Im(z₁) = -1. Найдем сумму, произведение и частное этих комплексных чисел.

z₁+ z₂= 10 +i;

z₁z₂ = (7 + 2i)*( 3 – i) = 21 + 6i – 7i – 2i² = 23 – i;

.

Комплексная плоскость

Если для геометрического изображения действительных чисел используются точки числовой прямой, то для изображения комплексных чисел служат точки комплексной координатной плоскости.

Плоскость называется комплексной, если каждому комплексному числу z = x + iy ставится в соответствие точка плоскости z= (x, y), причем это соответствие взаимно однозначное (рисунок 7.5).

Рисунок 7.5 – Комплексная плоскость

Оси абсцисс и ординат, на которых расположены действительные числа z = х + 0*i = х и чисто мнимые числа z = 0 + iy = iy, называются соответственно действительной и мнимой осями.

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

С каждой точкой z = (х, у) комплексной плоскости связан вектор с концом в этой точке и началом в начале координат. Его называют радиус-векторомэтой точки, а его длинуrназываютмодулем комплексного числаz и обозначают |z| (см. рисунок 7.5):

Угол , образованный радиусом-вектором с осью абсцисс, называютаргументом комплексного числаи и обозначаютArgz(-<Argz≤).

Из рисунка 7.5 видно, что x=rcos,y=rsin. Следовательно,

z=r(cos+isin)

Такое представление комплексного числа в виде называют тригонометрической формой комплексного числа.

Свойства арифметических операций над комплексными числами:

1. При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиусы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелограмма (рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Сложение и вычитание комплексных чисел

2. Модуль произведения (частного) двух комплексных чисел равен произведению (частному) модулей этих чисел, а его аргумент - сумме (разности) аргументов этих чисел, т.е.

если z=z₁z₂, то |z| =r₁r₂= |z₁|*|z₂|;Argz=Argz₁+Argz₂=₁+₂;

если z=z₁/z₂, то |z| =r₁/r₂= |z₁|/|z₂|;Argz=Argz₁-Argz₂=₁-₂.

Геометрически умножение числа z₁наz₂означает изменение длины радиуса-вектораr₁(илиr₂) вr₂(илиr₁) раз и его поворот вокруг начала координат против часовой стрелки на угол₂(или₁).

Так как в соответствии с формулами (16.7) и {16.8) при ум-ножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргу-менты складываются, легко получить формулу возведения комплексного числа в натуральную степень п, из-вестную как формула Муаера:

[r(cos ф + /sin ф)Р = rn (cos щ + fsiii /кр). (16.9)

ОПример 16.3. Найти (-1+020

Ре ше ни е. В примере 16.2 мы получили, что -1 + / =

ц*

Зя я"\

= v2| cos— + /sin — I. Поэтому по формуле Муавра (16.9)

(-и/г-

Ы Зя . Зя) V2 cos— + /sin —

I 4 А)

i г-\20Г Г Зя\ ( * Зя"\

= (V2)cod20-— +/sin20 —

Пусть

^z±:p(cos\|/+isinv|/).

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра (16.9), получим

z=[p(cosv|/+/sin\|/)| =p*(cosm|/+/sin/?\j/)

или

г(сов'ф + /вшф) = pw(cosn\|/ + /sinwv|/).

Отсюда следует, что

рл = г и ЛХ|/ ==ф + 2я&, где keZ

, т.е.

и/- ф + 2пк

Итак, р = Щг и \|/ = , к е Z,

f Ф+2яА # . ф+2я&

^г =^г(со8ф+/8Шф) =^Н cos +/sin 1, (16.10)

где к— 0, 1, 2,..., я—1.

При £= л, л+1, ... значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень п-ой степени из комплексного числа (не равного нулю) имеет п различных значений.

^Пример 16.4. Найти ^-1 + 1.

Р е шен и е. В примере 16.2 было получено

r = -l+/ = V2 cos—+/8Щ—I. По формуле (16.10)

^=^(cos^^+/si„^M), ^0,1,2,

откуда получаем три значения корня

z1=(^+/)1=^[coe~+/eiiijJ,

= 1024(со815я + /sin Ш) = 1024 (-1 + 0/) = -1024. ►

Обратимся к извлечению-корня из комплексного числа.

442

16'

z3 =(^/1+7)з =Щсо&—+пт-^.

443

if

На комплексной плоскости най¬денные значения корня представляют равноотстоящие друг от друга точки zb ?2, ?ь расположенные на окружности

радиуса ^2 (рис. 16.3)>>

Связь между тригонометрическими и показательными функциями выра¬жается формулой Эйлера1.

1Г*=5с<Жф + /sintp. (16.11)

Рис. 16.3

Отсюда следует показательная фор¬ма комплексного числа:

z = re»y (16.12)

где г-И, Ф = Argz.

В заключение отметим, что в показательной форме, так же как и в тригонометрической, легко проводить операции умноже¬ния, деления, возведения в степень, извлечение корня из ком¬плексных чисел.

1Рассмотренный способ приведения квадратичной формы к каноническому виду удобно использовать, когда при квадратах переменных встречаются ненулевые коэффициенты. Если их нет, осуществить преобразование все равно возможно, но приходится использовать некоторые другие приемы. Например, пустьf(х₁, х₂) = 2x₁х₂= x₁² + 2x₁х₂ + х₂²- x₁²- х₂²== (x₁+ х₂)²- x₁²- х₂²= (x₁+ х₂)²– (x₁²- 2x₁х₂ + х₂²) - 2x₁х₂ = (x₁+ х₂)²– - (x₁- х₂)²- 2x₁х₂; 4x₁х₂= (x₁+ х₂)²– (x₁- х₂)²;f(х₁, х₂) = 2x₁х₂= (1/2)* *(x₁+ х₂)²– (1/2)*(x₁- х₂)²=f(y₁,y₂) = (1/2)y₁²– (1/2)y₂², гдеy₁= х₁+ х₂, аy₂= х₁– х₂.

2 Здесь в слове «комплексное» ударение ставится на втором слоге.