- •Аналитическая геометрия Векторы. Линейное векторное пространство
- •Скалярное произведение векторов. Длина вектора.
- •Базис векторного пространства
- •Переход к новому базису
- •Линейные операторы
- •Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
- •Квадратичные формы
- •Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости и в трехмерном пространстве
- •Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Арифметические операции над комплексными числами
- •Комплексная плоскость
- •Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Переход к новому базису
Пурть в пространстве R имеются два базиса: старый el, e2,...enи новый e l*, e2*,...en*. Любой вектор нового базиса можно представить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:
Переход от старого базиса к новому можно задать матрицей перехода
Отметим, что коэффициенты размножения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы, а не строки этой матрицы.
Матрица А - неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Следовательно, она имеет обратную матрицу А-1.
Пусть вектор Х имеет координаты (хl, х2,... хn) относительно старого базиса и координаты (хl*, х2*,... хn*) относительно нового базиса, т.е. Х = xlel + x2e2 +...+ xnen = xl*el* + x2*e2* +...+ xn*en*.
Подставим в это уравнение значения el*, e2*,...en*из предыдущей системы:
xlel + x2e2 +...+ xnen = xl*(a11el + a12e2 + … + a1nen) + x2*(a21el + a22e2 + … + + a2nen) +...+ xn*(an1el + an2e2 + … + annen)
0 = el( xl*a11 + x2*a21 + … + xn*an1 - xl) + e2( xl*a12 + x2*a22 + … + xn*an2 – x2) + + … + en( xl*a1n + x2*a2n + … + xn*ann – xn)
В силу линейной независимости векторов el, e2,...enвсе коэффициенты при них в последнем уравнении должны равняться нулю. Отсюда:
или в матричной форме
Умножим обе части на А-1, получим:
Например, пусть в базисе el, e2, e3заданы вектора а1= (1, 1, 0), а2= (1, -1, 1), а3= (-3, 5, -6) иb= (4; -4; 5). Показать, что вектора аl, а2, а3тоже образуют базис и выразить в этом базисе векторb.
Покажем, что вектора аl, а2, а3линейно независимы. Для этого убедимся в том, что ранг составленной из них матрицы равен трем:
Отметим, что исходная матрица представляет собой не что иное, как матрицу перехода А. В самом деле, связь между базисами el, e2, e3и аl, а2, а3 можно выразить системой:
Вычислим А-1.
= 6 + 0 - 3 – 0 – 5 + 6 = 4
Т. е. в базисе аl, а2, а3векторb= (0,5; 2; -0,5).
Линейные операторы
Линейным оператором (преобразованием, отображением)n-мерного векторного пространства называется правилоY=f(X), по которому каждому вектору Х ставится в соответствие единственный векторY, причем сохраняются линейные операции над векторами, т.е. имеют место свойства:
1) f(X+Z) =f(X) +f(Z) - свойство аддитивности оператора;
2) f(X) =f(X) - свойство однородности оператора.
Можно доказать, что каждому линейному оператору соответствует квадратная матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.
Поэтому линейное преобразование можно определить по-другому: линейным оператором n-мерного векторного пространства, заданным квадратной матрицей А, называется преобразование, которое любому векторуX, записанному в виде матрицы-столбца, ставит в соответствие вектор А(Х) = А*Х =.
Матрицу А называют матрицей операторав данном базисе, а ранг этой матрицы -рангом оператора.
Например, если линейный оператор задан матрицей , то отображениеYвектораX= (4, -3, 1) будет равно
.
Отметим, что единичная матрица задает тождественное преобразование (тождественный оператор), поскольку, умножая ее на вектор, мы получаем тот же самый вектор.
Нулевая матрица определяется, как нулевой оператор, переводящий все векторы пространства в нулевые векторы.
Легко убедиться, что диагональная матрица, на диагонали которой стоит одно и то же число, задает оператор умножения вектора на это число.
Теорема. Матрицы А и А*одного и того же линейного оператора в базисах el, e2,...enи el*, e2*,...en*связаны соотношением А*= С-1АС, где С - матрица перехода от старого базиса к новому.
Доказательство. Обозначим Yотображение вектораXв базисeel, e2,...en, а те же вектора в базисе el*, e2*,...en*обозначим Х*и Y*. Так как С - матрица перехода, можно записать:
X = СХ*
Y = CY*
Умножим слева обе части первого равенства на матрицу А:
АX = АСХ*
Так как АX = Y, получимY= АСХ*, т.е. CY*= АСХ*. Домножив обе части последнего равенства на С-1, получим:
С-1CY*= С-1АСХ*
Y*= С-1АСХ*.
Так как Y*= А*X*, А*= С-1АС, что и требовалось доказать.
Например, пусть в базисе el, e2матрица оператора А =. Найти матрицу этого оператора в базисе el*= el-2e2, e2*= 2el+ e2.
Для этого построим матрицу перехода С = и обратную ей матрицу С-1.|C|= 5,,. Тогда