Скалярное произведение векторов. Длина вектора.

Как рассчитать длину вектора? Из рисунка 7.4 видно, что на плоскости она равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами длиной х₁и х₂.

Таким образом, длина вектора рассчитывается, как корень квадратный из суммы квадратов его координат . Аналогично рассчитывается длинаn-мерного вектора. Если вспомнить, что каждая координата вектора – это разность между координатами конца и начала, то мы получим формулу длины отрезка, т.е. евклидова расстояния между точками.

Скалярное произведениедвух векторов на плоскости – это произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:. Можно доказать, что скалярное произведение двух векторов= (х₁, х₂) и= (y₁, y₂) равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:= х₁* y₁+ х₂* y₂.

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторовX= (х₁, х₂,...,х_n) иY= (y₁, y₂,...,y_n) определяется, как сумма произведений их соответствующих координат:X*Y= х₁* y₁+ х₂* y₂+ ... + х_n* y_n.

Операция умножения векторов друг на другу аналогична умножению матрицы-строки на матрицу-столбец. Подчеркнем, что в результате будет получено число, а не вектор.

Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами (аксиомы):

1) Коммутативное свойство: X*Y=Y*X.

2) Дистрибутивное относительно сложения свойство: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для любого действительного числа .

4) , еслиX– не нулевой вектор;еслиX– нулевой вектор.

Линейное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее четырем соответствующим аксиомам, называется евклидовым линейным векторнымпространством.

Легко заметить, что при умножении любого вектора самого на себя мы получим квадрат его длины . Поэтому по-другомудлину вектора можно определить, как корень квадратный из его скалярного квадрата:.

Длина вектора обладает следующими свойствами:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, где– действительное число;

3) |X*Y||X|*|Y| (неравенство Коши-Буняковского);

4) |X+Y||X|+|Y| (неравенство треугольника).

Угол между векторами вn-мерном пространстве определяется, исходя из понятия скалярного произведения. В самом деле, если, то. Эта дробь по модулю не больше единицы (согласно неравенству Коши-Буняковского), поэтому отсюда можно найти.

Два вектора называют ортогональнымиилиперпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Из определения скалярного произведения следует, что нулевой вектор ортогонален любому вектору. Если оба ортогональных вектора ненулевые, то обязательноcos= 0, т.е=/2 = 90^о.

Рассмотрим еще раз рисунок 7.4. Из рисунка видно, что косинус угла наклона вектора к горизонтальной оси можно рассчитать как, а косинус угланаклона вектора к вертикальной оси как. Эти числа принято называтьнаправляющими косинусами. Легко убедиться, что сумма квадратов направляющих косинусов всегда равна единице:cos²+cos²= 1. Аналогично можно ввести понятия направляющих косинусов и для пространств большей размерности.

Базис векторного пространства

Для векторов можно определить понятия линейной комбинации,линейной зависимостиинезависимостианалогично тому, как эти понятия были введены для строк матрицы. Также справедливо, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них можно линейно выразить через остальные (т.е. он является их линейной комбинацией). Верно и обратное утверждение: если один из векторов является линейной комбинацией остальных, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Отметим, что если среди векторов a_l, a₂,...a_mесть нулевой вектор, то эта совокупность векторов обязательно линейно зависима. В самом деле, мы получим_la_l+₂a₂+...+_ma_m= 0, если, например, приравняем коэффициент_jпри нулевом векторе к единице, а все остальные коэффициенты – к нулю. При этом не все коэффициенты будут равны нулю (_j≠ 0).

Кроме того, если какая-то часть векторов из совокупности векторов линейно зависимы, то и все эти вектора - линейно зависимы. В самом деле, если какие-то вектора дают нулевой вектор в своей линейной комбинации с коэффициентами, которые не являются одновременно нулевыми, то к этой сумме произведений можно добавить остальные вектора, умноженные на нулевые коэффициенты, и она по-прежнему будет нулевым вектором.

Как определить, являются ли вектора линейно зависимыми?

Например, возьмем три вектора: а₁ = (1, 0, 1, 5), а₂= (2, 1, 3, -2) и а₃= (3, 1, 4, 3). Составим из них матрицу, в которой они будут являться столбцами:

Тогда вопрос о линейной зависимости сведется к определению ранга этой матрицы. Если он окажется равным трем, то все три столбца – линейно независимы, а если окажется меньше, то это будет говорить о линейной зависимости векторов.

Так как ранг равен 2, вектора линейно зависимы.

Отметим, что решение задачи можно было бы начать и с рассуждений, которые основаны на определении линейной независимости. А именно, составить векторное уравнение _la_l+₂a₂+₃a₃= 0, которое примет вид_l*(1, 0, 1, 5) +₂*(2, 1, 3, -2) +₃*(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тогда мы получим систему уравнений:

Решение этой системы методом Гаусса сведется к получению той же самой ступенчатой матрицы, только в ней будет еще один столбец – свободных членов. Они все будут равны нулю, так как линейные преобразования нулей не могут привести к другому результату. Преобразованная система уравнений примет вид:

Решением этой системы будет (-с;-с; с), где с – произвольное число; например, (-1;-1;1). Это означает, что если взять _l= -1;₂=-1 и₃= 1, то_la_l+₂a₂+₃a₃= 0, т.е. вектора на самом деле линейно зависимы.

Из решенного примера становится ясно, что если взять число векторов больше, чем размерность пространства, то они обязательно будут линейно зависимы. В самом деле, если бы в этом примере мы взяли пять векторов, то получили бы матрицу 4 х 5, ранг которой не мог бы оказаться больше четырех. Т.е. максимальное число линейно независимых столбцов все равно не было бы больше четырех. Два, три или четыре четырехмерных вектора могут оказаться линейно независимыми, а пять и больше – не могут. Следовательно, на плоскости могут оказаться линейно независимыми не более двух векторов. Любые три вектора в двумерном пространстве – линейно зависимы. В трехмерном пространстве любые четыре (или более) вектора – всегда линейно зависимы. И т.п.

Поэтому размерностьпространства можно определить, как максимальное число линейно независимых векторов, которые могут в нем быть.

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называют базисомэтого пространства.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса, и притом единственным способом.

Доказательство. Пусть векторы e_l, e₂,...e_nобразуют базисn-мерного пространства R. Докажем, что любой вектор Х является линейной комбинацией этих векторов. Поскольку вместе с вектором Х число векторов станет (n +1), эти (n +1) векторов будут линейно зависимы, т.е. существуют числа_l,₂,...,_n,, не равные одновременно нулю, такие что

_le_l+₂e₂+...+_ne_n +Х = 0

При этом 0, т.к. в противном случае мы получили бы_le_l+₂e₂+...+_ne_n = 0, где не все коэффициенты_l,₂,...,_nравны нулю. Это означает, что векторы базиса оказались бы линейно зависимы. Следовательно, можно разделить обе части первого уравнения на:

(_l/)e_l+ (₂/)e₂+...+ (_n/)e_n + Х = 0

Х = -(_l/)e_l- (₂/)e₂-...-(_n/)e_n

Х = x_le_l + x₂e₂ +...+ x_ne_n,

где х_j= -(_j/),.

Теперь докажем, что такое представление в виде линейной комбинации является единственным. Предположим противное, т.е. что существует другое представление:

Х = y_le_l+y₂e₂+...+y_ne_n

Вычтем из него почленно полученное ранее выражение:

0 = (y_l– х₁)e_l+ (y₂ – х₂)e₂+...+ (y_n– х_n)e_n

Так как векторы базиса линейно независимы, получим, что (y_j- х_j) = 0,, т.е.y_j= х_j. Итак, выражение оказалось тем же самым. Теорема доказана.

Выражение Х = x_le_l+x₂e₂+...+x_ne_nназываютразложениемвектора Х по базису e_l, e₂,...e_n, а числа х_l, х₂,...х_n-координатамивектора х относительно этого базиса, или в этом базисе.

Можно доказать, что если nненулевых векторовn-мерного евклидова пространства попарно ортогональны, то они образуют базис. В самом деле, умножим обе части равенства_le_l+₂e₂+...+_ne_n = 0 на любой вектор е_i. Получим_l (e_l*е_i) +₂(e₂*е_i) +...+_n(e_n*е_i) = 0  _i(e_i*е_i) = 0  _i = 0 для  i.

Векторы e_l, e₂,...e_nn-мерного евклидова пространства образуютортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если е_i*e_j= 0 приi≠jи |е_i| = 1 дляi.

Теорема (без доказательства). Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

Примером ортонормированного базиса является система n единичных векторов е_i, у которыхi-я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Каждый такой вектор называетсяорт. Например, вектора-орты (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) образуют базис трехмерного пространства.