Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор Х ≠ 0 называют собственным векторомлинейного оператора с матрицей А, если найдется такое число, что АХ =Х.

При этом число называютсобственным значениемоператора (матрицы А), соответствующим вектору Х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - Е)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными. Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - Е| == 0

Это уравнение с неизвестным называютхарактеристическим уравнением(характеристическим многочленом) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - Е| == (1 -)²– 36 = 1 – 2+²- 36 =²– 2- 35 = 0; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения₁= (2 - 12)/2 = -5;₂= (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х₂= с, х₁ + (2/3)с = 0; х₁ = -(2/3)с, т.е. Х⁽¹⁾= (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х₂= с₁, х₁ - (2/3)с₁ = 0; х₁ = (2/3)с₁, т.е. Х⁽²⁾= ((2/3)с₁; с₁).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с₁; с₁) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где _i– собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поясним это на предыдущем примере. Возьмем произвольные ненулевые значения с и с₁, но такие, чтобы векторы Х⁽¹⁾и Х⁽²⁾были линейно независимыми, т.е. образовали бы базис. Например, пусть с = с₁= 3, тогда Х⁽¹⁾ = (-2; 3), Х⁽²⁾ = (2; 3). Убедимся в линейной независимости этих векторов:

= -12 ≠ 0. В этом новом базисе матрица А примет вид А^*=.

Чтобы убедиться в этом, воспользуемся формулой А^*= С^-1АС. Вначале найдем С^-1.

С^Т=;

С^-1 =;