Степень вершины равна сумме числа элементов строки матрицы инцидентности, соответствующей данной вершине.
Сумма степеней вершин простого графа равна удвоенному числу рёбер (и поэтому всегда чётная):
Число вершин нечётной степени чётно
Вершину степени 0 называют изолированной, вершину степени 1 – висячей.
Маршруты
Для графов различных видов обычно определяют маршрут как
последовательность чередующихся вершин и рёбер
v0, e1, v1, e2, v2, e3, …, ek, vk,
где vi V & ei E и соседние элементы последовательности инциденты:
(vi, ei+1) & (ei, vi) 1.
Маршрут и длина маршрута в простом графе
S – маршрут длины k в простом графе G(V, E)
S=(v0, v1, v2, …, vk) & i (0≤i<k {vi, vi+1} E) & vk V
Элементы последовательности обычно нумеруют от числа 0, так чтобы номер последнего элемента совпадал с количеством рёбер в маршруте.
Это число называют длиной маршрута
Последовательность только из одной вершины называется маршрутом нулевой длины.
Связность
Две вершины в простом графе G(V, E) x и y называются связанными, если между ними существует маршрут S=(v0, v1, v2, …, vk), такой, что v0=x & vk=y
Отношение связанности вершин V V является бинарным отношением на множестве вершин простого графа. Его можно вычислить, объединив все степени отношения смежности и дополнив его до рефлексивного отношения:
где ={(x, y) | {x, y} E} – отношение смежности.
== V 1 2 3 ….
Отношение связности вершин является отношением эквивалентности
Компоненты связности
Классы эквивалентности по отношению связности вершин называют
компонентами связности графа.
В пределах такого класса [x] ={y | (x, y) } между всеми вершинами существуют маршруты. Между вершинами разных классов маршрутов нет.
={{a, b, c, d}, {e, f}, {g}}
Граф называют связным, если для каждой пары вершин существует маршрут между ними ( x V y V (x, y) ).
В этом случае отношение связности – полное отношение =V V.